Материалы к занятию «Комбинаторика и некоторые её приложения» Задачи на правила комбинаторики

Пример 1. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

Решение. В таких числах последняя цифра будет такая же, как первая, а предпоследняя – как вторая. Третья цифра будет любой. Эти условия симметричности можно записать в виде XYZYX, где Y и Z – любые цифры, а X – цифра, не равная 0. Т. о. цифры Y и Z могут принимать независимо друг от друга 10 различных значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а цифра X – только девять значений. Значит по правилу произведения из § 1 главы 4 количество пятизначных чисел, одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево, равно 9 10 10 = 900.

№ 1. В одном населенном пункте все жители говорят по-русски или по-коми. По-коми умеют говорить 85 % всех жителей, а по-русски – 75 %. Сколько процентов всех жителей умеют говорить на обоих языках?

№ 2. В группе из 80 туристов, приехавших на экскурсию в Москву, 52 хотят посетить Большой театр, 30 – Художественный театр, 12 туристов хотят посетить оба театра. Остальные театр посетить не желают. Сколько человек не собираются идти в театр?

№ 3. В летнем лагере отдыхают 70 ребят, из них 27 увлекаются рыбалкой, 32 – туризмом, 22 – футболом. Среди любителей рыбалки 10 туристов и 8 футболистов, среди туристов 6 футболистов. Трое увлекаются всеми тремя видами отдыха. Сколько в лагере ребят, не увлечённых ни одним из этих трёх видов отдыха?

№ 4. Сколько имеется натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?

№5. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?

Задачи на классические комбинаторные конфигурации

Пример 2. Для вернисажа выделены 2 комнаты музея. Среди экспонатов имеются 10 ценных. Было решено распределить их по двум выделенным комнатам так, чтобы в каждой было не менее четырёх экспонатов. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Возможны следующие варианты распределений по количествам ценных экспонатов в комнатах:

1. в первой комнате – 4 экспоната, тогда во второй – 6;

2. в первой комнате – 5 экспонатов, тогда во второй – 5;

3. в первой комнате – 6 экспонатов, тогда во второй – 4.

Так как порядок следования экспонатов в самой выборке по условию задачи не существенен (а повторы невозможны), количество выборок в первом варианте равно

.

Аналогично, во втором варианте имеем , в третьем варианте . Всего размещений .

Пример 3. На кейсе установлен цифровой кодовый замок. Чтобы открыть его, надо каждое из трёх колёсиков этого замка поставить в одно из 10 положений, определяемых секретным трёхзначным кодом, который был утерян. Сможет ли владелец кейса открыть его за 20 минут, не нанося порчи?

Решение. Если, начав с позиции 000, будем устанавливать последовательно позиции 001, 002, … , 999, то всего придётся проверить не более 10³ = 1000 позиций.

Переход к каждой следующей позиции в большинстве случаев (их не более 900) совершается поворотом одного колёсика на 1/10 полного оборота, что потребует не более половины секунды. Т. о. на эти действия будет затрачено не более 450 секунд.

В случаях переходов типа 089-090, когда заполняется очередной десяток (их не более 100), понадобится передвижение двух колёсиков на 1/10 оборота каждое. Следовательно, на такие переходы будет потрачено не более 100 2/2=100 секунд.

Наконец, в 9 случаях, при переполнении очередной сотни, придется поворачивать на 1/10 оборота все три колёсика. На это понадобится не более 15 секунд.

Т. о., на прокручивание колёсиков кодового замка при проверке всех возможных позиций достаточно 450 + 100 + 15 = 565 секунд.

Ещё надо учесть время на проверку того, открывается ли замок, после каждого очередного набора кода. Из опыта можно утверждать, что на каждый такой акт достаточно половины секунды. На 1000 проверок это даст не более 500 секунд. Всего стало 1065 секунд, что меньше 20 минут.

Т. о., за 20 минут реально открыть указанный в задании кейс прямым перебором всех возможных кодов.

№ 6. Сколькими различными способами можно выбрать из 10 человек делегацию в составе трёх человек?

№ 7. Сколько различных музыкальных фраз можно сыграть из 6 нот первой октавы фортепиано (там их 7: до, ре, ми, фа, соль, ля, си), если не допускать в ней повторения одинаковых нот?

№ 8. Сколько разных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (цифры могут повторяться)?

№ 9. В соревновании по бегу участвовало 10 спортсменов и все они показали разное время. Сколько различных призовых троек может быть в этом соревновании?

№ 10. Сколько различных перестановок из букв слова «огород» можно составить при условии, что три буквы «о» не должны стоять рядом?

№ 11. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «искусство»?

№ 12. При игре в домино 28 костей домино распределяются поровну между четырьмя игроками. Сколькими способами можно это сделать?

№ 13. Сколько различных по расцветке наборов из 7 воздушных шариков можно составить, если в продаже имеются шарики 4 цветов?

№ 14. Сколькими способами можно распределить 6 различных конфет между 3 детьми?

№ 15. На книжной полке собрание сочинений из 20 томов. Сколькими способами можно расставить их так, чтобы: а) тома 1 и 2 стояли рядом; б) тома 19 и 20 не были бы рядом?

№ 16. Комитет состоит из 12 членов. Для правомочности его решений необходимо, чтобы в заседании участвовало не менее 8 его членов. Сколькими способами можно достичь необходимый кворум?

№ 17. У 6 взрослых и 11 детей обнаружили симптомы некоторого заболевания. Было принято решение провести выборочный анализ у 2 взрослых и 3 детей. Сколько вариантов таких выборок возможно?

№ 18. Напишите формулу бинома Ньютона для n 4, n 5.

№ 19. Заполните 8–10 строки треугольника Паскаля.