В. А. Попов Элементы теории графов и их применения

(фрагменты материалов из пособия «Математика в социогумвнитарной сфере»)

История возникновения и развития теории графов. Основные понятия. Связность. Эйлеровы (полуэйлеровы) графы и их свойства. Гамильтоновы (полугамильтоновы) графы. Деревья. Остовное дерево минимального веса. Алгоритм Краскала. Хроматическое число графа. Формула Эйлера.

Считается, что теория графов родилась из размышлений Л. Эйлера над нижеследующей задачей.

В начале XVIII в. город Кёнигсберг (ныне Калининград) располагался на берегах B и C, а также островах A и D реки Прегель, и было тогда в черте города 7 мостов, расположенных так, как это изображено на рис. 3.1. Вопрос: может ли житель этого города выйти из своего дома на прогулку, пройти по всем 7 мостам ровно по одному разу и вернуться к себе домой?

Рис. 3.1. О семи мостах

Решая эту задачу (мы вернёмся к ней в § 2), Л. Эйлер ввёл в математику (1736 г.) новые понятия: граф, вершина графа, ребро графа, степень вершины и т. д., выявил простейшие связи между ними, что стало основой метода решений многих задач с помощью графовых моделей.

Очень долго возникшая теория находилась в стороне от главных направлений исследований учёных и обогащалась лишь задачами, которые, на первый взгляд, казались игровыми, несерьёзными:

- о путешествии по вершинам додекаэдра У. Р. Гамильтона (1805–1865) (см. далее § 2);

- о достаточности четырёх красок для правильной раскраски любой географической карты [Д30, c. 125–126] и др.

Вместе с тем в середине XIX в. появились работы, в которых при решении некоторых практических задач были получены результаты, относящиеся к теории графов. Так, например, английский математик А. Кэли (1821–1895), исходя из задач подсчёта числа изомеров предельных углеводородов, пришел к задачам перечисления и описания деревьев, обладающих заданными свойствами, и решил некоторые из них. Немецкий физик Г. Кирхгоф (1824–1887) при составлении полной системы уравнений для токов и напряжений в электрической схеме предложил по существу представлять такую схему графом и находить в этом графе остовные де­ревья, с помощью которых выделяются линейно независи­мые системы контуров.

В XX в. задачи, связанные с графами, начали возникать не только в физике, химии, электротехнике, но и внутри математики, а также в биологии, экономике, социологии и т. д. Как отдельная математическая дисциплина теория графов была впервые представлена в монографии (Theorie der endlichen und un endlichen Graphen. – Akad. Verlag, Leipzig, 1936) венгерского математика Д. Кёнига (1884–1944), в которой были систематизированы известные к тому времени факты.

Из современных исследователей отметим французского математика К. Бержа (р. 1926), российского математика А. А. Зыкова (р. 1922).

§ 1. Основные понятия теории графов

В этой главе мы сформулируем основные термины и свойства для конечных простых неориентированных графов, т. е. для конечных графов, у которых нет петель, кратных рёбер, а у ‘рёбер’ нет направления.

Итак, графом в нашем изложении называется непустое конечное множество V элементов, называемых вершинами, вместе с множеством R всех или некоторых неупорядоченных пар элементов из V (т. е. двухэлементных подмножеств множества V), называемых рёбрами.

Ребро графа, образованное парой вершин u и v, мы будем обозначать (u,v). В этом случае говорят, что ребро (u,v) соединяет вершины u и v. Подчеркнём, что в рамках сделанных предположений символы (u,v) и (v,u) обозначают одно и то же ребро.

На рисунках вершины графа изображаются в виде точек (концов рёбер), а рёбра в виде несамопересекающихся непрерывных линий (часто – отрезков прямой), соединяющих соответствующие вершины.

Например, на рис. 3.2 изображен граф с 6 вершинами и 9 рёбрами:

Рис. 3.2.	Рис. 3.3. Полный граф

Поскольку при изображении графа на плоскости иногда не удаётся избежать точек пересечения рёбер друг с другом (не в вершинах графа!), то в этом случае для изображения именно вершин графа применяют маленькие закрашенные кружочки (см., например, рис. 3.3 графа с 5 вершинами и 10 рёбрами).

Согласно приведённому определению графа любые две его вершины могут соединяться не более чем одним ребром. Кроме того, ребро не может соединять вершину саму с собой (иначе образовалась бы петля).

Две вершины u и v графа G называются смежными, если существует соединяющее их ребро. Вершины u и v называются инцидентными этому ребру, а это ребро инцидентным этим вершинам. Аналогично, два различных ребра графа G называются смежными, если они инцидентны одной вершине, т. е. имеют общий конец.

Степенью вершины графа G называется число рёбер, инцидентных этой вершине, т. е. число выходящих из этой вершины рёбер (или, что равносильно, входящих в неё рёбер). Степень вершины v мы будем обозначать через p(v). Вершина степени 0 называется изолированной, а вершина степени 1 – висячей.

Граф на рис. 3.2 имеет по 2 вершины степени 2, 3, 4, а у графа на рис. 3.3 степени всех вершин равны 4.

Сформулируем и поясним простейшие свойства степени вершин.

Теорема 1. Сумма степеней всех вершин произвольного графа G всегда чётна и равна 2m, где m – число рёбер графа G.

Это утверждение очевидно, так как в графе без петель каждое ребро инцидентно двум вершинам (своим концам), т. е. добавляет число 2 к сумме степеней вершин графа G. Следовательно, все рёбра дают вместе сумму степеней, равную 2m.

Теорема 2. В любом графе число вершин нечётной степени чётно.

Пусть G – некоторый граф с n вершинами v₁,…,v_n . Пусть имеется k вершин с нечётной степенью. Ясно, что достаточно рассмотреть случай, когда . В этом варианте, не сужая общности рассуждений, можно считать, что нечётны степени первых вершин: v₁,…,v_k, а степени остальных вершин чётны.

Тогда получаем,

p(v_i) = p(v_i) – p(v_i).

По теореме 1 первая сумма в правой части этого равенства чётна. Вторая сумма в правой части равенства так же чётна, поскольку каждый её член является чётным. Из этого вытекает, что и сумма в левой части равенства является чётной (т. к. разность двух чётных чисел всегда чётна).

А это означает, так как каждый член этой суммы является нечётным, что число членов k в ней обязано быть чётным.

Продолжим введение основных понятий теории графов.

Полным называется граф, в котором каждые две вершины смежные. Полный граф с n вершинами обозначают . На рис. 3.3 показан граф .

Подграфом графа G называется любой граф , все вершины и рёбра которого являются, соответственно, вершинами и рёбрами графа G, т. е. если и .

Цепью графа G называется конечная последовательность его рёбер, удовлетворяющая условию: начало каждого следующего ребра является концом предыдущего. Символически это упорядоченный набор из рёбер: (v₀,v₁), (v₁,v₂), (v₂,v₃),…, (v_m-1,v_m). В этом случае v₀ называется начальной вершиной (началом), v_m – конечной вершиной (концом) этой цепи, а m –числом рёбер в ней, т. е. длиной цепи.

Отметим, что в цепи графа допускается повтор вершин и рёбер.

Простой цепью называется цепь, в которой все рёбра различны, а элементарной цепью, если различны все её вершины (кроме, быть может, начальной и конечной).

Цепь называется замкнутой, если начальная вершина цепи совпадает с конечной. Замкнутая простая цепь называется циклом.

Граф называется связным, если для любых его двух вершин существует хотя бы одна цепь с началом и концом в этих вершинах. В противном случае он называется несвязным.

Пусть G – несвязный граф. Тогда множество V вершин графа G можно разбить на такие подмножества , для которых существуют связные подграфы , графа G со следующим свойством: при i j не существует ни одной цепи из в , т. е. для любых , нет цепи с началом в вершине v и концом в u.

Такие подграфы называются компонентами связности графа G или просто компонентами графа G .

Ребро графа называется мостом, если при его удалении число компонент связности увеличивается, т. е. одна из компонент графа перестает быть связной.

Два графа и называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие f между множествами их вершин и , которое сохраняет инцидентность вершин и рёбер.

При изоморфизме все отношения, выполняющиеся для рёбер из , сохраняются для соответствующих рёбер из :

.

В частности, отсюда следует, что для любой вершины графа её степень равна степени вершины графа .

Пример 1. На рис. 3.4–3.6 показаны изоморфные графы для графов следующих правильных многогранников: тетраэдра, куба (гексаэдра), октаэдра.

Тетраэдр	Куб	Октаэдр
Рис. 3.4	Рис. 3.5	Рис. 3.6