2.4 Вертикальні криві

П ри проектуванні траси, ділянки з різними похилами повздовжнього профілю з’єднуються вертикальними коловими кривими великого радіуса. Для забезпечення видимості радіуси опуклих вертикальних кривих приймають більшими ніж вгнутих ( див. табл.9.1). Безпосередньо з рис. 10.4 випливає, що

(10.29)

де - центральний кут,

Рисунок 10.4 Вертикальна крива який стягує

кінцеві точки вертикальної колової кривої.

(10.30)

Звідси:

(10.31)

– (10.32)

де - тангенс вертикальної кривої,

Положення будь якої точки профіля на вертикальній кривій визначають абсцисою x і поправкою y. Абсцису відраховують за пікетажем, а поправку y обчислюють за формулою:

(10.33)

На цю поправку виправляють проектні висоти на профілі, додаючи її в випадку опуклої кривої і віднімаючи в випадку вгнутих.

У метрополітенах, на швидкісних магістралях і навіть металургійних машинах неперервного розливання сталі використовують вертикальні перехідні криві. Координати точок таких кривих обчислюють іноді з точністю до 0,01мм. Особливості влаштування перехідних кривих будуть розглянуті в розділі 10.5

10.5 Новий метод розмічування перехідних кривих на автомобільних дорогах

Недолік використання к клотоїди як з незміщеним, так і зміщеним центром, а також і катіоїди [4] полягає в тому, що скорочена кругова крива повинна переміщатись до центра на величину – p, яка може бути з достатньою точністю, для розв’язуваних в даній роботі задач, підрахована для клотоїди за формулою (10.21).

В зв’язку з цим розв’яжемо задачу теоретичного обґрунтування двох випадків розпланування криволінійної ділянки траси, з використанням клотоїд:

- для криволінійної ділянки, яка складається з двох клотоїд і роздільчої колової кривої ,

- для криволінійної ділянки , яка складається з двох клотоїд, що переходять одна в другу в точці СКК- середині кругової кривої, наміченої при польових вишукуваннях.

Спочатку розглянемо випадок, коли між оберненими клотоїдами є роздільча ділянка в вигляді колової кривої.

Рис 10.5 Перехідна крива зі незміщеною круговою

При вишукуваннях, в усіх випадках, знайшовши положення вершини кута повороту – ВКП, вимірявши кут повороту - і задавшись проектним значенням R і L розмічають точки : ( див. рис. 10.5) початок перехідної кривої - ППК, початок колової кривої -ПКК, кінець перехідної кривої -КПК (ця ж точка – початок скороченої колової кривої ), середину колової кривої –СКК. За відомою технологією [2] початок скороченої колової кривої –ПСКК і середина скороченої колової кривої- ССКК будуть зміщені на величину – p.

Щоб знайти положення точки КПК для випадку , визначимо центральний кут і ординату кругової кривої в точці КПК за формулами

, (10.34)

де кут подається у кутовій та радіанній мірах.

Прямокутні координати КПК відносно початку перехідної кривої ППК визначаються також з рівняння клотоїди за формулами [Левчук,Баран]

(10.35)

Таким чином в заданій точці _КПК має виконуватися умова, щоби або , (10.36)

Умова (10.36) дозволяє, задаючись величинами R і знайти L з числового розв’язку і з використанням ,наприклад, Solver Exel .

З іншої сторони, на основі (10.36) з збереженням тільки двох перших членів розкладу в ряд одержимо, що

(10.37)

В подальшому покажемо, що прийняте спрощення не приводить до помилок в визначенні y_L , які перевищують 1 мм.

Як слідує з (10.37), довжина перехідної кривої є функцією радіуса кругової кривої і центрального кута, який стягує замінну частину колової кривої. Проте доцільнішою видається залежність, яка отримана із порівняння формул (10.34) і (10.35), а саме:

Рис.10.6 Спряження колової кривої з клотоїдою за умови p=0

(10.38)

в якій визначальною для довжини перехідної кривої є довжина замінної частини колової кривої ( від ПКК до КПК) та її радіус. Для обчислення точного значення L за першою залежністю треба для її знаменника визначити наближене значення .

Аналіз формули (10.36) свідчить, що для зміни в сторону збільшення / зменшення треба відповідно змінювати що не суперечить сучасній практиці проектування залізниць і автошляхів.

До речі, визначена клотоїда має найбільше відхилення від замінної частини колової кривої у її першій частині довжиною а далі обидві криві практично збігаються.

Формули (10.35) і особливо (10.36) стають ефективнішими, оскільки при вишукуваннях транспортних споруд в камеральних або польових умовах спочатку за нормативним значенням радіуса визначають елементи колової кривої, зокрема її довжину, а потім, після визначення довжини перехідної кривої, розраховують її основні елементи для фіксації положення кривих в геометрії траси, до речі і з використанням таблиць кривих за величинами R i L. До них відносяться такі величини:

(10.37)

де абсциса точки КПК від ПКК; абсциса ПКК відносно ППК; хорда і полярний кут перехідної кривої.

Розмічування проміжних точок перехідної привої ведеться за їх прямокутними координати , які обчислюють за відомими формулами з використанням віддалення біжучої точки від ППК [Левчук, Баран]. Одночасно обчислюють ординату y_ПКК при

Для розмічування залишкової колової кривої способами прямокутних або полярних координат доцільно визначити дотичну , початкову точку N якої розмічують від точки ПК за відстанями

(10.38)

Для ілюстрації практичного застосування розробленого методу взято колову криву з такими вихідними даними і обчисленими елементами: (рис.10.6) Визначення довжини перехідної кривої за формулою (10.36) проведено при м та обчислено відповідні величини для розмічування перехідної кривої на місцевості:

(контроль);

Для перевірки коректності формули (10.37), виконано також розрахунок L з числового розв’язання рівняння (10.36) . Одержали значення L=86,5896 і значення y_L співпало з точністю до четвертого знака після коми, що підтверджує коректність виконаних при виведені формули (10.37) допущень.

Як бачимо, перехідна крива виявилася близькою до 90 м і відповідає технічним вимогам до забезпечення віражу. Оскільки половина колової кривої становить 114,610 м, то залишкова половина колової кривої становитиме К=114,610-50,000=64,610 м, що можна, з одного боку, вважати прийнятним, а, з другого, створюється резерв для збільшення довжини перехідної кривої на 10-20 м.

Для отримання м обчислено наближене значення м, а потім за формулою (10.36) − його точна величина м.

Аналіз величин свідчить, що більша частина перехідної кривої (майже 60 %) розташовується в зоні колової кривої, а менша (до 40 %) − у зоні прямолінійної траси. Більше того, ці частини мають співвідношення (сума коефіцієнтів пропорційності дорівнює тоді як у традиційній системі розташування клотоїда ділиться на дві половини. Власне саме це стало основною причиною зміщення клотоїди з колової кривої, що дуже ускладнило технологію розрахунків та розмічування кривих у транспортних спорудах.

Для даного випадку, на практиці , слід прийняти нормативне значення L, найближчим з яких буде L=80м. Розв’язуючи з цим значенням оптимізаційну задачу (10.36) знайшли, що k слід прийняти рівним 46,1939м. і y_L= 2,132 м. Відзначимо, що якщо на основі (10.37) знайти, що k рівне 46,188м і з розв’язку оптимізаційної задачі знайти L і y_L , то ці значення виявляться рівними 46,188м і також 2,132м., що зайвий раз підтверджує можливість використання формули (10.37).

Розглянемо другий випадок, випадок, коли , тобто, коли розділяюча ділянка колової кривої відсутня, хоча відзначимо, що в більшості джерел ( для прикладу робота [17]) вказувалось, що її довжина повинна бути мінімум 10 м). Проте, на початку роботи ми вже приводили цитату з [5], на користь влаштування кривих без розділяючих ділянок колових кривих. Приведемо ще і цитату з авторитетного зарубіжного видання [27]. ” …. Тому сучасна траса вже не містить колових дуг, а складається з прямих ліній і з частин клотоїд, в ідеальному випадку навіть виключно з клотоїд. ” . Там же відзначається, що ”проектування і розмічування клотоїди пов’язане з значними вимірювальними і обчислювальними витратами, які, проте, в багатьох випадках окупаються простотою будівельних робіт. ”. Очевидно і використання cкорочених колових кривих було продиктовано в основному бажанням спростити обчислювальні та вимірювальні роботи. Звичайно, при сучасних можливостях обчислювальної техніки і розмічуванні кривих за координатами при допомозі електронного тахеометра, ці причини використання колових кривих несуттєві і використання розділяючої колової кривої підкреслимо, на автомобільних дорогах, на нашу думку, недоцільно.

Щоб оцінити наскільки відсутність розділяючої ділянки відобразиться на геометрії кривої, знайдемо відхилення радіуса перехідної кривої від на ділянці довжиною 5 м в кінці перехідної кривої. Для цього про диференціюємо формулу для . Одержимо:

(10.39)

Прийнявши, для прикладу знайдемо, що радіус перехідної кривої на 10 метровій ділянці в центрі кривої буде лежати в границях 499,7 – 500 м, що дозволяє створити односхильний радіальний перечний профіль дороги адже, теоретично, ухил віражу на цій ділянці нам необхідно змінювати в границях до 0,1%.

Проілюструємо цей випадок числовим розрахунком. Допустимо, що нам потрібно замінити розглянуту вище колову криву двома клотоїдами того ж радіусу R, що і у колової кривої так, щоб вони стикувались на СК.

Прийнявши =114,61 знайшли, що L повинно бути рівним 198,353 і y_L= 13,077. Для контролю знайшли знайшли значення y_L за формулою

= 13,077,

що ще раз підтверджує правильність знайденого розв’язку.

Проте, для тих випадків, коли на практиці ми за умовами місцевості не маємо змоги використати знайдене за формулою (10.37) значення L, чи необхідно використовувати нормативне значення (для нашого прикладу 200 м) даний вище розв’язок не підходить. Тому приведемо розв’язок, який дозволяє виконати умову співпадіння симетричних клотоїд в точці СКК, наміченій при польових вишукуваннях при фіксованих значеннях L .

Якщо поставити умову щоб , то для знаходження L в цьому випадку в роботі [2] пропонується знаходити її за параметрами R і y_L методом наближень. На перший погляд, це може визвати здивування, адже L можна знайти відразу за формулою:

(10.40)

яка випливає з того, що .

Проте, якщо використовувати класичний підхід заміни колової кривої радіусом R_{кол.кривої} двома перехідними кривими, приймаючи іх радіус також рівним R_{кол.кривої} , то величина р може досягати дійсно значних величин. Максимальне її значення можемо знайти на основі (10.21) після нескладних перетворень за формулою:

(10.41)

На основі (10.41) одержимо, що при R_{кол.кривої} =3000 м і досягає 34м, а це вже вимагає додаткових вишукувальних робіт. Тому, на нашу думку, найбільш оптимальним варіантом є такий вибір радіуса перехідної кривої – R_{клотоїди}, при якому перехідні криві будуть проходити через середину кругової кривої, яку вони заміщають.

Для знаходження R_{клотоїди} в цьому випадку, як і рекомендується в роботі [2], скористаємося формулою

(1- (10.42)

Поставивши умову, щоб

, (10.43)

де R_{кол.кривої} ( - бісектриса колової кривої.

На основі (10.42) і (10.43) одержимо формулу поправок,

(1-

яка дозволяє знайти значення задаючись значеннями , L і з розв’язку оптимізаційної задачі.

Аналіз результатів обчислень за формулою (10.44) , за умов, що L = і [vv]=min, які ми виконали використовуючи надбудову Solver Exel , показав, що знаходиться в діапазоні 1,333443÷1,337309 в залежності від кута .Результати приведені в таблиці 10.2.

Таблиця 10.2