6.2. Линейные преобразования стационарного случайного процесса

Рассмотрим линейное преобразование L_t стационарного случайного процесса X(t), имеющего следующее спектральное разложение:

Получаем случайный процесс Y(t):

,

имеющий характеристики

m_Y(t)=M(L_t(m_X))=L_t(m_X);

где

=DU_p=DV_p; φ_p(t)=L_t(cosω_pt); ψ_p(t)=L_t(sinω_pt).

В общем случае в результате линейного преобразования стационарного случайного процесса X(t) возникает нестационарный случайный процесс Y(t). Для того, чтобы случайный процесс Y(t) был стационарен, линейное преобразование L_t должно обладать следующими свойствами

L_t(m_X) – const;

Например, случайный процесс Y(t) будет стационарен, если выполняется любая пара условий

или

Отметим наиболее важные в практическом отношении линейные операторы.

1. Оператор дифференцирования:

Очевидно, что

то есть соблюдены все условия, при которых случайный процесс Y(t) стационарен.

При этом

Данные результаты легко обобщаются на случай :

.

2. Оператор интегрирования:

Случайный процесс Y(t) имеет следующую структуру и характеристики:

;

Очевидно, что случайный процесс Y(t) не является стационарным.

3. Оператор сложения: Z(t)=X(t)+Y(t)

Рассматривается сумма двух стационарных случайных процессов X(t) и Y(t) с известными характеристиками m_X; k_X(τ); m_Y; k_Y(τ) и известной взаимной корреляционной функцией R_XY(t₁;t₂).

В соответствии с общими формулами получаем:

m_Z(t)=m_X+m_Y – const;

В общем случае случайный процесс Z(t) не будет стационарным. Если же X(t) и Y(t) стационарно связаны

R_XY(t₁;t₂)=r_XY(τ)

или вообще некоррелированны

R_XY(t₁;t₂)=0,

то случайный процесс Z(t) стационарен. При этом либо

либо

.

Пример 18. Найти характеристики случайного процесса Y(t):

,

если m_X=0; ; a, λ – const; λ>0.

Решение.

Очевидно, что

; .

Остановимся подробнее на процедуре дифференцирования:

;

так как , , то

Как показано в Примере 17(г), случайный процесс X(t) имеет следующую спектральную плотность

,

следовательно,

6.3. Преобразование стационарного случайного процесса стационарной

линейной системой

Известно, что стационарные линейные преобразователи могут быть описаны с помощью линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

где X(t) – стационарный случайный процесс на входе в систему; Y(t) – стационарный случайный процесс на выходе, который возникает после переходных осцилляций. В такой постановке начальные значения X(t) при t=0 не играют никакой роли. Для удобства будем полагать

.

После применения преобразования Лапласа получаем:

,

где и - соответственно изображения стационарных случайных процессов X(t) и Y(t). Для удобства обозначим

;

тогда

Функция С(р) называется передаточной функцией стационарной линейной системы, а ее оригинал с(t) называется весовой функцией (функцией Грина) стационарной линейной системы.

В соответствии со свойствами преобразования Лапласа между реализациями стационарных случайных процессов X(t) и Y(t) имеется следующая зависимость (называемая сверткой функций c(t) и x(t)):

Как было показано ранее, стационарный случайный процесс X(t) имеет следующее каноническое разложение в комплексной форме

,

а его корреляционная функция имеет вид:

Рассмотрим реакцию системы на одну из гармоник, составляющих стационарный случайный процесс, то есть x(t)=e^iωt. Очевидно, что выходной сигнал будет иметь вид y(t)=E·e^iωt. Так как , то дифференциальное уравнение принимает вид

где

Следовательно, при возмущающем сигнале e^iωt на выходе получается сигнал

Аналогично, при возмущающем сигнале получаем

Наконец, для случайного процесса

получаем стационарный случайный процесс Y(t) со следующим спектральным разложением

;

Выходной сигнал Y(t) имеет следующие характеристики:

,

где D_n=D(W_n)=D(W_-n); .

Полученный результат допускает простое физическое толкование. При прохождении стационарного случайного процесса X(t) через стационарный линейный преобразователь меняются амплитуды дисперсий различных гармоник. Если , то соответствующая дисперсия вырастает; если , то уменьшается. Так как все гармоники имеют математическое ожидание равное 0, то уменьшение дисперсии означает, что эта гармоника фактически удаляется (отфильтровывается) из выходного сигнала.

Таким образом, если случайный процесс Х(t) и его корреляционная функция заданы в виде спектрального разложения, то приведенные выше формулы полностью решают вопрос о спектральном разложении случайного процесса Y(t) и расчете его характеристик.

Если же известны математическое ожидание , корреляционная функция или спектральная плотность

то далее последовательно находятся

Пример 19. На вход стационарной линейной системы с передаточной функцией С(р) подается «белый шум» Х(t) со следующими характеристиками: m_Х; Найти характеристики выходного сигнала Y(t). Рассмотреть частный случай системы, которая описывается следующим дифференциальным уравнением:

Решение.

Из общих формул получаем:

В частности, для заданной системы получаем

Знаменатель дроби может быть разложен на множители:

следовательно,

Методом неопределенных коэффициентов данное выражение можно представить как сумму следующих дробей:

Спектральная плотность случайного процесса Y(t) имеет вид:

По таблице соответствий получаем

следовательно,

Пример 20. На вход линейной стационарной системы

подается случайный сигнал Х(t), имеющий следующие характеристики: математическое ожидание m_Х и корреляционную функцию Найти характеристики выходного сигнала Y(t).

Решение.

1. Спектральная плотность случайного процесса Х(t):

2. Передаточная функция и квадрат ее модуля:

3. Спектральная плотность случайного процесса Y(t):

Методом неопределенных коэффициентов получаем:

По таблице соответствий:

Задачи для самостоятельного решения

1. Задан случайный процесс X(t)=f(t; A), где А-дискретная случайная величина, значения которой указаны в Таблице 1 (Приложение 1) . Изобразить все реализации и сечения в моменты времени, указанные в таблице.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию, корреляционную функцию, нормированную корреляционную функцию и одномерную плотность (для нормально распределенных случайных величин A и B) случайного процесса Х(t), структура которого описана в Таблице 2 (Приложение 1). Во всех вариантах считать случайные величины A и B независимыми. (Пропуск в таблице означает совпадение законов распределения случайных величин А и В).

3. Найти математическое ожидание, дисперсию, корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию случайных процессов Х(t), , (см. Таблица 3, Приложение 1). Найти взаимные корреляционные функции случайных процессов Х(t) и ; Х(t) и . Во всех вариантах А – произвольно распределенная случайная величина с математическим ожиданием и дисперсией .

4. Задано (см. Таблица 4, Приложение 1) каноническое разложение случайного процесса Х(t). Найти математическое ожидание, дисперсию, корреляционную функцию, одномерную и двумерную плотности распределения. Во всех вариантах - независимые нормально распределенные случайные величины с параметрами (0;1).

5. Случайный процесс Х(t) (см. Таблица 5, Приложение 1) имеет известное математическое ожидание и корреляционную функцию . Найти каноническое разложение Х(t) по координатным функциям при условии, что коэффициентами разложения являются нормально распределенные случайные величины .

6. Задано (см. Таблица 6, Приложение 1) каноническое разложение случайного процесса Х(t); во всех вариантах - центрированные некоррелированные случайные величины с конечными дисперсиями . Найти математическое ожидание, дисперсию, корреляционную функцию и построить каноническое разложение случайного процесса Y(t):

7. Доказать, что случайный процесс X(t):

является стационарным в широком смысле и найти его характеристики; - независимые случайные величины;

- равномерно распределенная на отрезке случайная величина; - const. Значения констант А и В взять из Таблицы 6 (Приложение 1).

8. Корреляционная функция стационарного случайного процесса X(t) имеет вид:

Найти корреляционные функции, дисперсии, взаимные корреляционные функции случайных процессов Х(t); ; Y(t)= . Значения констант А,В,С взять из Таблицы 6 (Приложение 1).

9. Рассматривается простейший поток событий с интенсивностью . В момент наступления очередного события в потоке случайный процесс Х(t) принимает одно из значений непрерывной случайной величины А. Считая все сечения независимыми, найти математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию случайного процесса Х(t). Тип и параметры случайной величины А взять из Таблицы 2 (Приложение 1).

10. По графику одной из реализаций эргодического стационарного случайного процесса Х(t) найти приближенные значения математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции (см. Приложение 2). Во всех вариантах считать масштабы осей Ot и OX(t) одинаковыми; .

11. Найти спектральную плотность стационарного случайного процесса Х(t), если задана корреляционная функция (см. Таблица 7, (Приложение 1).

12. Найти корреляционную функцию и дисперсию стационарного случайного процесса Х(t), если задана его спектральная плотность (см. Таблица 8, Приложение 1).

13. Стационарная линейная система описывается следующим дифференциальным уравнением:

На вход подается стационарный «белый шум» X(t) с характеристиками:

где W - интенсивность «белого шума»; δ(τ) - дельта-функция Дирака. Найти характеристики выходного сигнала Y(t).

Таблица 9

№	1	2	3	4	5	6
A,B,C, D,Е,F, G	1,6,11, 6,0,1,0	1,7,16, 12,0,0,1	1,-6,12, -8,1,0,1	1,-1,-4, -6,1,0,1	1,-1,-10, -8,0,1,1	1,3,0, -4,1,1,0
№	7	8	9	10	11	12
A,B,C,D,E,F,G	1,9,27, 27,1,1,1	1,4,6, 4,2,0,0	1,2,-9, -18,0,2,0	1,-4,-3, 18,0,0,2	3,-9,9, -3,1,0,2	1,5,9, 5,0,1,2
№	13	14	15	16	17	18
A,B,C,D,E,F,G	1,-7,15, -9,2,1,0	1,9,26, 24,2,0,1	1,6,-3, -10,0,2,1	1,7,2, -40,1,2,0	1,-1,-5, -3,1,0,2	1,-5,-1, 5,1,1,2
№	19	20	21	22	23	24
A,B,C,D,E,F,G	1,12,48, 64,1,2,1	1,1,-10, 8,2,1,1	1,4,5, 2,0,1,0	1,-2,-13, -10,0,0,1	1,-2,-16, 32,1,0,0	1,6,9, 4,1,2,0
№	25	26	27	28	29	30
A,B,C,D,E,F,G	1,-1,-17, -15,0,0,2	1,-2,-13, -10,2,0,1	1,-3,-9, -5,0,1,1	1,-15,75, -125,2,-1,0	1,-3,-8, -10,0,0,2	1,-1,-15, -25,2,1,1

14. На вход линейной стационарной системы:

подается стационарный случайный сигнал X(t) с математическим ожиданием m_x и корреляционной функцией k_X(τ)=e^-λ|τ|. Найти характеристики выходного сигнала Y(t). Значения коэффициентов A,B,C,D взять из Таблицы 9.