2.4 Равновесие жидкости в поле земного тяготения

В качестве объемной силы в поле земного тяготения выступает сила тяжести. Полное ускорение объемных сил равно ускорению свободного падения g = 9,81 м/c².

В выбранной системе координат проекции единичной объемной силы на оси Ox, Oy и Oz будут следующими:

.

Знак «минус» в ускорении свободного падения соответствует направлению силы тяжести в отрицательную сторону оси Oz.

Подставляя значения X, Y, Z в уравнение поверхности уровня, получим

и следовательно,

,

где с – произвольная постоянная.

Таким образом, поверхностью уровня (поверхность равного дав­ления) в однородной покоящейся жидкости будет любая горизонтальная плоскость, в том числе и свободная поверхность, независимо от формы сосуда или водоема. Горизонтальной плоскостью будет также граница раздела двух несмешивающихся жидкостей (рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 – Поверхность равного давления

Давление в точке А равно давлению в точке В, так как обе точки лежат на одной и той же поверхности уровня (поверхности равного давления).

2.5 Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим случай равновесия жидкости, когда на неё действует одна сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого объёма жидкости. Пусть жидкость находится в сосуде (рисунок 2.5) и на её свободную поверхность действует давление р₀. Найдём гидростатическое давление р в произвольно взятой точке М, расположенной на глубине h.

Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объём высотой h. Рассмотрим условия равновесия указанного объёма жидкости, выделенного из общего объёма. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь объёма, т.е. вверх.

Рисунок 2.5 – Схема для вывода основного уравнения гидростатики

Запишем сумму сил, действующих на рассматриваемый объём в проекции на вертикаль

.

Последний член уравнения представляет собой вес жидкости в указанном объёме. Сократив выражение на dS и перегруппировав члены, найдём

Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики; по нему можно подсчитывать давление в любой точке покоящейся жидкости.

2.6 Закон Паскаля и его технические применение

Из основного уравнения гидростатики видно, что на сколько увеличивается давление на свободной поверхности р₀, на столько же увеличивается и абсолютное давление в точке жидкости, т. е. внешнее давление р₀, приложенное к жидкости в замкнутом сосуде, передается внутри жидкости во все точки без изменения. В этом и заключается закон Паскаля. На его использовании основано действие простейших гидравлических машин: гидравлических прессов, домкратов, подъемников, аккумуляторов, мультипликаторов (повышающих давления) и др.

Гидравлический пресс (рисунок 2.6, а) является одной из наиболее распространенных гидравлических машин и применяется для обработки материалов давлением. Если к поршню площадью S₁, двигающемуся в малом цилиндре А, приложить силу Р₁ , то жидкость получит добавочное давление p₁ = P₁/ S₁.

а) б)

Рисунок 2.6 - Гидравлический пресс (а), гидравлический аккумулятор (б).

По закону Паскаля это давление распространится во всей жидкости без изменения и передастся на поршень большей площади S₂, двигающийся внутри цилиндра В. Величина усилия, с которым поршень в цилиндре В будет двигаться вверх, составит

Таким образом, сила Р₂ во столько раз больше силы Р₁, во сколько раз площадь поршня в цилиндре В больше площади поршня в цилиндре А. В действительности вследствие трения в цилиндрах сила Р₂ будет несколько меньше. Влияние трения учитывается введением в формулу коэффициента полезного действия .

Давление рабочей жидкости (обычно это масло) в гидравлических прессах создается насосом и составляет 20...30 МПа (200... 300 кгс/см²). Однако в отдельных случаях, например для синтеза алмазов, оно достигает 450 МПа (4500 кгс/см²). Наиболее мощные гидравлические прессы для объемной штамповки развивают усилие 735 МН (примерно 75 000 т).

На принципе гидравлического пресса основано устройство гидравлических домкратов и подъемников, используемых для подъема грузов.

Гидравлический аккумулятор (рисунок 2.6, б) состоит из рабочего цилиндра 1, в котором движется массивный плунжер 2 площадью сечения S₁. К плунжеру при помощи коромысла 3 подвешены грузы 4. В рабочий цилиндр 1 по трубопроводу 5 подается вода или масло. Под действием давления жидкости плунжер 2 в цилиндре движется вверх. Если обозначим вес плунжера с грузами G, а высоту поднятия h, то запас потенциальной энергии аккумулятора составит Gh. Открытием крана на трубопроводе 6 (при закрытом кране трубопровода 5) сжатая в аккумуляторе жидкость может быть направлена к рабочей машине (например, гидравлическому домкрату, подъемнику и т. п.), где за счет запаса потенциальной энергии будет совершена полезная работа.

Давление жидкости, необходимое для зарядки аккумулятора, должно быть

p₁ = G/ S₁,

а рабочее давление при разрядке

р₂ =η∙p₁,

где η<1 – КПД гидравлического аккумулятора, учитывающий потери давления за счет трения.