Если сечение трубы постоянно, то

,

где а - ускорение.

Уравнение Бернулли для неустановившихся течений жидкости используется для расчета и анализа переходных процессов в гидросистемах.

3.16.2 Гидравлический удар в трубопроводах

Гидравлическим ударом в трубах называется резкое увеличение давления при очень быстром (практически мгновенном) уменьшении скорости движения жидкости (например, при очень быстром закрытии пробкового крана). Всестороннее изучение гидравлического удара началось в связи с частыми авариями на новых линиях Московского водопровода, построенных в конце XIX века. Причины аварии исследовал выдающийся русский ученый Н.Е. Жуковский, которой впервые разработал теорию гидроудара.

Основная схема физического процесса явления гидравлического удара по теории Н.Е. Жуковского заключается в следующем (рисунок 3.36).

Рисунок 3.36 - Схема физического процесса явления гидравлического удара

Будем считать жидкость не вязкой, а сжимаемой и подчиняю­щейся закону Гука, а трубопровод абсолютно жестким. Физический процесс, протекающий при гидравлическом ударе, представляет собой четыре фазы преобразования энергии движущейся жидкости.

Первая фаза. При внезапном и полном закрытии задвижки в конце трубопровода вся движущаяся в нем жидкость должна ос­тановиться. Реальная жидкость, обладающая свойством упругости, останавливается постепенно, сжимаясь от слоя к слою, начиная от конца трубопровода. Фронт остановившейся жидкости (сечение n–n) будет перемещаться от задвижки к резервуару. В остановившемся объеме между задвижкой и сечением n–n возникает дополнительное давление р. Скорость перемещения этого фронта называется скоростью распространения ударной волны и обозначается символом

,

где l и Т – соответственно длина трубы и длительность первой фазы.

Таким образом, упругая деформация сжатия и повышения дав­ления распространяется вверх по течению и за время T достигает кон­ца трубы. При этом освободившееся пространство на расстоянии l заполняется жидкостью из резервуара.

В конце первой фазы вся жидкость в трубе неподвижна ( = 0) и находится под давлением р + р.

Вторая фаза. Начало второй фазы совпадает с концом первой. Жидкость в трубе сжата, но не уравновешена давлением в резервуаре, где давление p. Поэтому жидкость в трубе начинает расширяться в сторону резервуара. Сначала приобретают движение слои жидкости, близкие к резервуару, а затем фронт спада давления n–n станет перемещаться от резервуара к задвижке со скоростью .

К концу второй фазы вся жидкость в трубе окажется в движении со скоростью в сторону резервуара и давление в трубе вос­становится до первоначального.

Третья фаза. (Фаза растяжения и остановки движения). В на­чальный момент вся жидкость движется в обратную сторону и стре­мится оторваться от задвижки.

Если отрыва не произойдет, то начнется растяжение жидкости с дальнейшим понижением давления до р = р – р. В конце третьей фазы вся жидкость останавливается и находится под действием по­ниженного давления.

Это состояние оказывается также неуравновешенным, т.к. дав­ление в резервуаре равно р, а в трубе р – р.

Четвертая фаза. (Фаза восстановления движения до состояния, имевшего место перед закрытием задвижки). В начале четвертой фазы жидкость из резервуара начнет втекать в трубку со скоростью и давление будет повышаться до р. Фронт первоначального давления n–n будет перемещаться в сторону задвижки со скорость рас­пространения ударной волны . К концу четвертой фазы скоростью движения по всей длине трубы будет равна , а давление р.

Так как задвижка закрыта, то, начиная с конца четвертой фазы, процесс гидравлического удара будет повторяться.

В реальных условиях, когда существуют гидравлические сопро­тивления и упругие деформации стенок трубопровода, процесс гид­равлического удара будет более сложным и затухающим. При этом наиболее опасным является первое повышение давления (рисунок 3.37).

Время одного цикла, включающего повышение и понижение давления, называется фазой удара T. Считая скорость ударной волны при повышении и понижении давления одинаковой, определим фазу удара

.

Рисунок 3.37 – Колебания давления при гидравлическом ударе

Если время закрытия задвижки меньше или равно фазе удара (t₃T), то удар называется прямым.

При t₃  T не вся кинетическая энергия переходит в потенциаль­ную энергию давления и повышение давления при тех же условиях меньше, чем при прямом ударе. Такой удар называется непрямым.

Так как характеристики движения жидкости при гидравлическом ударе изменяются с течением времени, то такой процесс называется неустановившимся.

Рассмотрим гидравлический удар в трубопроводе при внезапном (мгновенном) закрытии задвижки в конце трубопровода с учетом реальных условий движения жидкости, а именно: жидкость сжимае­ма, а стенки трубопровода обладают упругими свойствами.

Рисунок 3.38 – Иллюстрация гидравлического удара

За бесконечно малый промежуток времени dt после закрытия задвижки движение жидкости прекращается на расстоянии от задвижки. На этом бесконечно малом участке трубопровода про­изойдет повышение давления на величину р (рисунок 3.38).

Определим величину р с помощью закона изменения количест­ва движения. До закрытия задвижки количество движения в рассматриваемом объеме было равно

,

где S – площадь сечения трубы;

 – плотность жидкости;

– скорость движения жидкости;

– скорость распространения ударной волны.

После закрытия задвижки скорость и количество движения уменьшились до нуля, т.е. в этом случае изменение количества дви­жения стало равно начальному количеству движения. Это изменение количества движения должно быть равно импульсу действующих сил.

Учитывая, что давление в сечении 1–1 равно р₀, а в сечении 2–2 повысилось до р₀ + р, находим импульс действующих сил в виде

Запишем закон изменения количества движения с учетом выра­же­ний для количества движения и импульса действующих сил

.

Откуда следует формула для определения повышения давления при прямом гидравлическом ударе при известной скорости распространения ударной волны - формула Н.Е. Жуковского

.

При абсолютно жестких стенках трубопровода скорость распро­странения ударной волны равна скорости распространения звука в воде ( = 1425 м/с).