3.4 Уравнение Бернулли для установившегося движения идеальной жидкости

Жидкость, находящаяся в покое или движении, обладает определенным запасом механической энергии Е. Энергия определяет запас работы, которую может совершить тело, изменяя свое состояние. Работа – это произведение силы на перемещение под действием этой силы. Полная механическая энергия потока жидкости это сумма потенциальной и кинетической энергии. Причем покоящаяся жидкость обладает только потенциальной энергией, а движущаяся – потенциальной и кинетической. При этом потенциальная энергия складывается из энергии положения и потенциальной энергии давления. Т.е. полная механическая энергия определяется по формуле

Е = Е_пол + Е_давл + Е_кин.

Удельной энергией жидкости называется энергия, отнесённая к единице массы.

Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости, находящееся под действием силы тяжести. Выделим элементарную струйку из потока жидкости. Обозначим сечения 1-1 и 2-2 заключив между ними участок струйки произвольной длины (рисунок 3.6). Пусть площадь первого сечения равна dS₁, скорость в нём , давление р₁, а высота расположения центра тяжести сечения, отсчитанная от произвольной горизонтальной плоскости сравнения z₁. Во втором сечении соответственно dS₂, , р₂ и z₂.

За бесконечно малый отрезок времени dt выделенный участок струйки переместится в положение (рисунок 3.6).

Рисунок 3.6 – Схема для вывода уравнения Бернулли

Следовательно, удельная механическая энергия (из законная сохранения энергии) для сечений 1 и 2 величина одинаковая и можно записать выражение

,

Это уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной несжимаемой жидкости, записанное в форме напоров.

Уравнение Бернулли можно записать в форме энергий или давлений

3.5 Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

Рисунок 3.7 – Пьезометрическая и гидродинамическая линии

Положение любой частицы жидкости относительно некоторой произвольной линии нулевого уровня 0-0 определяется вертикальной координатой z (рисунок 3.7). Для реальных гидравлических систем это может быть уровень, ниже которого жидкость из данной гидросистемы вытечь не может. Например, уровень пола цеха для станка или уровень подвала дома для домашнего водопровода.

В уравнении Бернулли входят следующие величины:

• z - нивелирная высота или геометрический напор – высота положения центра тяжести сечения от произвольной горизонтальной плоскости.

• - пьезометрическая высота или напор. Эта величина соответствует высоте, на которую поднимется жидкость в пьезометре, если его установить в рассматриваемом сечении, под действием давления р.

• - гидростатический напор.

• - называется скоростной высотой или напором. Данную величину можно представить как высоту, на которую поднимется жидкость, начавшая двигаться вертикально со скорость при отсутствии сопротивления движению. Определяется как разность уровней в пьезометре и трубке Пито

• Сумму всех трёх членов (высот) называют гидродинамическим или полным напором и, как уже было сказано, обозначают буквой Н

.

Все слагаемые уравнения Бернулли имеют размерность длины и их можно изобразить графически (рисунок 3.7).

Значения - геометрическую, пьезометрическую и скоростную высоты можно определить для каждого сечения элементарной струйки жидкости. Геометрическое место точек, высоты которых равны , называется пьезометрической линией (рисунок 3.10). Если к этим высотам добавить скоростные высоты, равные , то получится другая линия, которая называется гидродинамической или напорной линией.

Из уравнения Бернулли для струйки невязкой жидкости следует, что гидродинамический напор по длине струйки постоянен.