§ 73. Механический способ определения площадей

В инженерной практике для определения площадей достаточно боль­ших участков по планам или картам наиболее часто применяется меха­нический способ, основанный на использовании специального прибо­ра-планиметра. Конструкция планиметра впервые была предложена в 1856 г. одновременно швейцарцем Амслером и нашим соотечественни­ком механиком А.Н. Зарубиным. Из многочисленных конструкций пла­ниметров в настоящее время наибольшее распространение получили полярные планиметры типа ПП-2К (конструкции МИИЗ) и его модер­низированная модель ПП-М.

Устройство полярного планиметра. Полярный планиметр ПП-М (рис. 88, а) состоит из двух рычагов — полюсного 1 и обводного 4. В ниж­ней части груза 2, закрепленного на одном из концов полюсного рыча­га, имеется игла — полюс планиметра. На втором конце полюсного рычага находится штифт с шарообразной головкой, вставляемой в гнез­до 5 каретки 6 обводного рычага. На конце обводного рычага имеется линза 3, на которой нанесена окружность с обводной точкой в центре. Каретка 6 имеет счетный механизм (рис. 88, б), который состоит из счетного колеса 8 и счетчика 7 целых оборотов счетного колеса. Для отсчетов по счетному колесу имеется специальное устройство — вернь­ер 9. При обводе контура участка обводной точкой линзы 3 ободок счетного колеса и ролик 11 катятся или скользят по бумаге; вместе с обводной точкой они образуют три опорные точки планиметра.

Тысячная часть окружности счетного колеса называется делением планиметра. Окружность счетного колеса разделена на 100 частей, т. е. каждая часть содержит 10 делений планиметра. Каждый десятый штрих счетного колеса оцифрован.

Отсчет по планиметру состоит из четырех цифр: первая, ближай­шая к указателю 14 младшая цифра счетчика оборотов (тысячи делений планиметра), вторая и третья цифры — сотни и десятки делений, пред­шествующие нулевому штриху верньера; четвертая цифра — номер штриха верньера, совпадающего с ближайшим штрихом счетного коле­са (единицы делений).

Каретка со счетным механизмом (рис. 88, б) после ослабления винта 12 может передвигаться вдоль обводного рычага 4, изменяя тем самым его длину. Необходимая длина свободного рычага устанавливается на шкале делений 13, расположенной на его верхней грани, с помощью верньера 10.

Рис. 88. Полярный планиметр ПП-М: а — общий вид; б — каретка со счетным механизмом

ГШ И. ШЕЩЕИЕ ИИЩЕ1ЗЕМЕЯЬИЫХ УГДДВИ

Теория полярного планиметра. Пусть требуется измерить на плане площадь некоторой криволинейной фигуры (рис. 89). Полюс планиметра О установлен внутри фигуры. На рис. 89 схематично показаны: / — начальное положение рычагов планиметра и II — при перемещении об­водной точки по контуру фигуры на малое расстояние ВВ_Г Обозначим через К_}иК длины обводного и по­люсного рычагов, а через г — рас­стояние от счетного колеса до точ­ки соединения рычагов.

Перемещение рычагов плани­метра из положения ОАВ (I) в по­ложение ОА₁В₁ (II) можно разло­жить на три движения: 1) поворот полюсного рычага К вокруг полюса О на угол а; 2) параллельное пере­мещение обводного рычага К₁ из по­ложения АВ в положение А_}С на расстояние Л; 3) поворот обводного рычага К₁ вокруг точки А₁ на угол р.

Площадь фигуры ОАВВ можно представить суммой пло­щадей трех фигур: площади сектора

^ОАА\ ~ ' 2 ~~ 2

площади параллелограмма

^ а вса\ ~ ^л

площади сектора

(углы а и р выражены в радианной мере). Тогда площадь фигуры 0АЯВ_;А_;0

п2 п 2

(118)

При перемещении обводной точки из В в С счетное колесо перемес­тится из положения «а» в положение «с» и пройдет путь, равный к. При повороте обводного рычага вокруг точки А_; из положения А_;С в поло­жение на угол (5 счетное колесо будет вращаться в обратном на­правлении на величину дуги аЬ = г/3. Следовательно, общий путь счет­ного колеса будет равен к — г/3.

Пусть п₀ и п — отсчеты по планиметру при положениях рычагов ОАВ (I) и ОА₁В₁ (II), а I — цена деления счетного колеса в линейной мере. Тогда путь счетного колеса можно выразить как ((п₁ — п₀).

Рис. 89. Теория полярного планиметра

13 Геодезия

Отсюда

к — г/3 = 1(п_{ ~ «₀) или к = 1(п_х - п₀) + г/?. Подставив значение к в формулу (118), получим

8_х=^а + \/3 + К_х-г/3 + К_х1(п 1-ЛО). (119)

Площадь всей фигуры будет равна сумме элементарных площадей 5_;, 5₂, 5_Л:

К ² р} К ²

8 = -уа + -у / + &Р/9 + К_х1{п_х - я₀) + + -у-А + + -"!)+..,

или в общем виде

^ = + + + (120)

где л₀, л — начальный и конечный отсчеты по планиметру.

Если полюс планиметра находится внутри контура, то после полно­го обвода полюсный рычаг АО опишет окружность около неподвижно­го полюса О, а обводный рычаг АВ — около подвижной точки А,; тогда

и формула (120) примет вид

5 = л{К^г + К{ + 2К_хг) + К_х1(п - и₀). (121)

Обозначив через ? = л(К² + К_{² + 2К_хг) и // = Я_х(, получим окончатель­но формулу для вычисления всей площади при положении полюса внутри контура фигуры

8 = //(п-п₀) + д , (122)

где /и — цена деления планиметра; ц — постоянная планиметра.

Если планиметр находится вне контура фигуры (этому условию соответствует положение полюса О относительно контура заштрихо­ванной площади), то после обведения контура ВСВ₁ полюсный и обвод­ной рычаги займут исходное положение и, следовательно, Еа = X/? = 0. Тогда формула (122) примет вид

8 = /г(п-п ₀). (123)