Глава 14

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ЗЕМЕЛЬНЫХ УГОДИЙ

Для решения многих инженерных задач землеустройства (при со­ставлении землеустроительных проектов, выделении участков в пользо­вание организациям или отдельным лицам, ведении государственного земельного кадастра и т. д.) требуется знать площади земельных уго­дий. Эти площади могут быть рассчитаны аналитически по результа­там измерений на местности либо определены по плану или карте гра­фическим и механическим способами либо их комбинациями. Следует иметь в виду, что по планам (картам) площадь определяется с меньшей точностью, чем по результатам непосредственных измерений на мест­ности; при этом на точность определения площадей оказывают влия­ние погрешности измерений на местности, построения плана (карты) и измерений на них, а также деформация бумаги.

§ 71. Аналитический способ определения площадей

Если по результатам измерений на местности определены коорди­наты вершин замкнутого многоугольника, то площадь последнего мо­жет быть определена аналитическим способом.

Пусть известны прямоугольные координаты вершин треугольника

1. 2—3 (рис. 85). Опустив из его ^ вершин перпендикуляры на ось Оу, площадь треугольника 5 можно представить следующим образом:

5 = 8! + 8_и — 8_ш,

где 5₇ , 5_/у , 5_Ш — площади тра­пеций соответственно /— (Г—1—

2. 2'), II — (2-2-3-3') и III — (1-1-3-3').

Площади рассматриваемых д трапеций определяются как:

5₁ = 1/2(х_]+х₂)(у₂-у₁)\ 8_п=1/2(х₂+х₃)(у₃-у₂У,

Рис. 85. Аналитический способ 8_Ш = 1 / 2(х_] + х₃)(у₃ — у_х). определения площади

Тогда удвоенная искомая площадь треугольника 1—2—3 будет равна:

25 = (*, + х₂)(у₂ ~у_{) + (х₂+ х₃)(у₃ - у₂)- (х_х + х₃)(у₃ - _У])

или (ИЗ)

25 = (х, + х₂)(у₂ - у_х) + (х₂ + *з)(у₃ - у₂) + (х, + х₃)Су, - д>₃).

После раскрытия скобок, соответствующей группировки членов уравнения и вынесения за скобки общих знаменателей получим

25 = х_х(у₂ ->>з) + х₂0>₃ -у_х) + х₃СУ1 - у₂),

или

25 = ^(^3 -х₂) +у₂(х_х -х₃) +у_г(х₂

В общем виде

1 '"³ /=1

или

/=1

Тогда для многоугольника с числом вершин л при их оцифровке по ходу часовой стрелки формулы общего вида запишутся так:

1 "

(П5)

1=1

где / =1, 2, 3, ..., л.

Для контроля вычисления производят по обеим формулам. На практике для вычисления площадей полигона удобно использо­вать формулы, в которые наряду с координатами точек входят прира­щения координат. Это позволяет вести вычисления непосредственно в ведомости вычисления координат, в которой имеются все элементы, входящие в формулу.

На основе формулы (113) можно записать в общем виде:

=

/=1

Поскольку (У 1+] ~ У;) У_е ТО

п

25 = ^(_Х1 + Х_М)А_У1,

или

п П

25 = Х^АУ, (116)

ПШ 14. ШЦЕЯЕИЕ ШЦАДЕ1 ЗЕМЕШЫХ УГОДИМ

Пример расчета площади по координатам точек полигона и прира­щениям координат (см. табл. 5) приведен в табл. 8.

Таблица 8

Результаты вычисления площади в пределах теодолитного

полигона

^ о н	Исправленные приращения, м				Координаты, м				±	АУ/ Л12	±	АУ/ х1§ м2	±	Ау» Дх,, м2
	±	Ах	±	Ау	±	X	±	У
1					+	6327,12	+	3741,10
	+	116,50	+	79,36					+	511366	+	502120	+	9246
2					+	6443,62	+	3820,46
	-	163,79	+	354,72					+	2227581	+	2285681	-	58100
3					+	6279,83	+	4175,18
	-	30,30	-	351,32					-	2195585	-	2206230	+	10645
4					+	6249,53	+
	-	59,66	-	141,47					-	875681	-	884121	+	8440
5					+	6189,87	+
	+	137,25	+	58,71					+	371465	+	363407	+	8058
1					+	6327,14	+	3741 10
								2	+	39146	+	60857	-	21711
„ 39146+60 857 2 5 = 2 = 50 002 м = 5'00 га

При расчетах по формуле (116) возможно выполнение постоянного контроля произведений по строкам исходя из следующих соображений:

4ул+1 - Аул = ^Ая(*ж -*/) = АУ/^Г (¹¹⁷)

В рассматриваемом случае точность вычисления площади определя­ется лишь погрешностями угловых и линейных измерений на местно­сти. Так, при измерении углов с точностью Г и длин линий с точностью 1:2000 относительная погрешность определения площади составит при­мерно 1:1500.

При определении площадей сложной конфигурации с большим чис­лом вершин вычисления рекомендуется проводить с использованием ЭВМ.