§ 84. Уравнивание систем ходов способом полигонов проф. В.В. Попова

Данный способ применяют для уравнивания как свободных, так и не­свободных сетей нивелирных и теодолитных (полигонометрических) ходов.

Как уже отмечалось ранее, свободными называются такие геодези­ческие сети, в которых имеются только необходимые исходные элемен­ты: координаты одного исходного пункта и дирекционный угол исход­ного направления, высота одного исходного репера и т. п. Наличие в сети избыточных исходных данных вызывает дополнительные условия,

которым должны удовлет­ворять уравненные вели­чины; такие сети являют­ся несвободными.

Сущность способа В.В. Попова рассмотрим на примере уравнивания В свободной сети нивелир­ных ходов.

Уравнивание сети ме­тодом непосредственного решения системы уравне­ний поправок. Пусть ни­велирная сеть состоит из трех примыкающих друг к другу полигонов, невязки в которых соответственно

равны Д, Ди Д (рис. 97).

(364)

Рис. 97. Схема к уравниванию свободной нивелирной сети способом полигонов

Направления ходов в поли­гонах показаны стрелками.

Таблица 37

		ё X						Приближения
5	а							(0)/(1)		(2)		(3)		(4)
Обозн. у: точки	№ хода к; точке	С о * у	2	й„ м	и км	1	Р\		2 % 10	2	ед, мм	2 а?	5	2	2	ММ		ри:
	1	А	46,428	+5,497	6,1	0,16	0,31	51,925	0,0	51,925	0,0	51,925	0,0	51,925	0,0	+ 18	324	51,8
М	5	N		+8,819	4,4	0,23	0,45	950	11,2	950	11,2	947	19,9	945	9,0	-2	4	0,9
	8	Я		+3,933	8,3	0,12	0,24	957	7,7	968	10,3	963	9,1	962	8,9	-19	361	43,3
	сумма / среди.					0,51	1,00	51,944	18,9	51,946	21,5	51,944	29,0	51,943	17,9
	2	в	50,279	7,148	3,7	0,27	0,40	43,131	2,4	43,131	3,2	43,131	4,8	43,131	5,2	5	25	6,8
N	6	л		+ 11,538	6,0	0,17	0,26	137	3,1	123	0,0	119	0,0	118	0,0	+8	64	10,9
	5	м		-8,819	4,4	0,23	0,34	125	0,0	127	1,4	125	2,0	125	2,4	+ 1	1	0,2
	сумма / средн.					0,67	1,00	43,131	5,5	43,128	4,6	43,126	6,8	43,126	7,6
	3	с	50,498	-2,474	2,6	0,38	0,49	48,024	6,4	48,024	5,4	48,024	6,4	48,024	6,9	+4	16	6,1
Я	8	м		-3,933	8,3	0,12	0,16	011	0,0	013	0,0	011	0,0	010	0,0	+18	324	2,2
	7	к		+16,462	3,7	0,27	0,35	061	17,5	047	11,9	043	11,2	042	11,2	-14	196	52,9
	сумма / средн.					0,77	1,00	48,035	23,9	48,030	17,3	48,029	17,6	48,028	18,1
	4	о	53,287	-21,688	8,0	0,12	0,22	31,599	5,7	31,599	6,8	31,599	7,0	31,599	7,3	-19	361	43,3
к	7	я		-16,462	3,7	0,27	0,48	573	0,0	568	0,0	567	0,0	566	0,0	+ 14	196	52,9
	6	N		-11,538	6,0	0,17	0,30	593	6,0	590	6,6	588	6,3	588	6,6	-8	64	10,9
	сумма / средн.					0,56	1,00	31,585	11,7	31,581	13,4	31,580	13,3	31,580	13,9			280,2

Уравнивание системы нивелирных ходов способом приближений

ро

280,2 12-4

= 5,9 мм.

р = ^т«« = \

РАЗДЕЛ IV. УРАВНИВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕ! СГУЩЕНИЯ ■ СЪЕМИИЫХ СЕТЕЙ

Обозначим длину каждого звена (или число станций) между двумя узловыми точками через п с указанием номеров полигонов, к которым данное звено принадлежит. Тогда длины внешних звеньев полигонов АВ, ВС и АС будут соответственно л₇, п₂ и п₃, а общие для двух смежных полигонов звенья АД ВО и СТ> — п₁₃, п_{1 2} и п₂₃.

Если каждый из имеющихся полигонов рассматривать как незави­симый, то для устранения невязок в каждом из них длины звеньев нужно умножить на поправки к_}, к₂ и к₃, приходящиеся на один кило­метр длины каждого полигона. Тогда условия устранения невязок в полигонах можно записать в виде системы уравнений:

{п₁+п₁₂ + п_и)-к₁+1У₁ = 0;

(п₂ + п_2Л + п_1Л)■ к₂ + IV, = 0; (365)

*

где Щ — свободные члены уравнений, равные невязкам в соот­

ветствующих полигонах Д, Д и Д.

(366)

Поскольку в системе уравнений (365) суммы величин в скобках представляют собой периметры полигонов Ы₂ и И₃, то систему урав­нений можно записать в виде

+

И₂к₂+Щ^0_> Аг_зк₃+№₃=0

Следует учесть, что выше приведенные уравнения составлены для независимых полигонов и не учитывают условия смежества (по терми­нологии В.В. Попова⁶) полигонов. Поэтому для учета этого условия в первом полигоне общую поправку. И₁к₁ следует уменьшить на величины поправок, приходящиеся на смежные звенья вЪ и СД при этом нужно иметь в виду, что для двух смежных полигонов поправки на одно и то же звено будут иметь противоположные знаки. Например, если поправка по звену ВО для первого полигона равна +п₁₂к_г то для второго полиго­на поправка по этому же звену будет —п_{} 2}к_г

Аналогичные соображения в отношении поправок действуют и по другим смежным звеньям. Тогда уравнения (365) следует записать в следующем виде:

(л, + п₁₂ + п_и)'к,- п₁₂к₂ - п₁₃к₃ + IV_} = 0;

(п₂ + п_и + п_и)-к₂-п₂₃к₃ -п₁₂к_{ +Щ=0;> (³⁶⁷)

(^пз + ^пи + ^п2.з )'^кз~ ^пи^к1 ~ ^п2.з^к2

В результате решения системы уравнений находят поправки к_г к₂ и к₃ на один километр хода внешних звеньев АВ, ВС и АС. Поправки на

ГШ* 14. ГОЦЕШЕ УМШШ1Е СЪЕМИДЫК СЕТЕ!

смежные звенья АО, ВР и СИ можно получить на основе некоторого преобразования системы уравнений (367).

Раскрыв скобки в уравнениях (367), запишем:

п₁к₁ + п₁₂к_} + п₁₃к₁ — п₁₂к₂ — п, ₃к₃ + IV ₁ = 0; п₂к₂ + п₂₃к₂ -I- п_{] 2}к₂ — п_{2 3}к₃ — п₁₂к_] + \У₂ = 0; п₃к₃ + п₁₃к₃ + п_{2 3}к₃ - п₁₃к₁ - п_{2 3}к₂ + №₃=0

Проведя перегруппировку членов уравнений, получим:

"Л+Я/АV- ^к2 ) '+ «м (*/ - += О;"

(368)

(369)

п₂к₂ + п₂₃ (к₂ - к₃) + {к₂ - к,) + цг₂ = 0;

Нетрудно убедиться, что разности коэффициентов в скобках пред­ставляют собой поправки на один километр длины смежных звеньев в прямом (по ходу часовой стрелки) и обратном направлениях, а их произведения на длину звеньев — суммарную поправку в превышения по тем же звеньям.

(370)

С учетом принятых обозначений окончательно система уравнений (367) примет вид:

Ы₁к₁ — п₁₂к₂ — п_}3к₃ + \У₁ = 0; Ы₂к₂ — п₂₃к₃ — п₁₂к_! + Щ = 0;

Уравнения системы (370) можно легко составить по схеме сети (см. рис. 97), руководствуясь следующими правилами:

• первый член каждого уравнения представляет собой произведе­ние поправочного коэффициента к₍ на периметр полигона N.. где г — номер полигона;

• второй и третий члены уравнений есть произведения поправоч­ных коэффициентов смежных полигонов на длины соответствующих звеньев;

• четвертый (свободный) член каждого уравнения равен невязке соответствующего полигона, т. е. IV. = /_А .

После решения системы уравниваний суммарные поправки в пре­вышения по звеньям и вычисляют как:

*/ = */*/'• = */.*(*/-*?)'' ^г/и^=пи{^к1-^кз)>'

^У2 ~ ^П2^к2> »2.! = "Л/-*/)>' *>2* = ^П2А^к2-^кзУ>

г>₃=п₃к₃; У₃₂=п₂₃(к₃-к₂); Ян^Пи^-к,).

Следует отметить, что для нивелирных сетей данный способ урав­нивания является строгим и дает результаты, идентичные уравниванию по способу наименьших квадратов.