§ 82. Уравнивание систем съемочных ходов с двумя узловыми точками

В геодезической практике для уравнивания сетей ходов с двумя узловыми точками наряду со способом среднего весового широкое применение получил способ эквивалентной замены. Указанные спосо­бы рассмотрим на примере уравнивания системы нивелирных ходов (рис. 95) с узловыми точками К и Т. Известны высоты исходных пунк­тов Н_А, Н_в, Н_с, Н₀, превышения по ходам (/== 1, 2, ..., 5) и их длины I..

(345)

Способ эквивалентной замены. Суть способа состоит в приведении системы с двумя узловыми точками к системе с одной узловой точкой. Для этого два хода (например, 1 и 2) необходимо объединить в один «воображаемый» КК (рис. 95), называемый эквивалентным. В результа­те получим систему ходов с одной узловой точкой Г: ход КК+5, ход 3 и ход 4.

Рис. 95. Система нивелирных ходов с двумя узловыми точками

По формулам среднего весового вычисляют высоту Я_{; 2} узловой точки Л и параметры эквивалентного хода: его вес р₁₂ и длину Ь_{] 2}.

_И ^ Р1^Н1+Р₂^Н2 Р1+Рг

где Н₁ = Н_А +И_]> Н₂=Н_В+Н₂.

(347)

Веса р₁ и р₂ в формуле (345) вычисляют обратно пропорционально длине соответствующего хода

(346)

Вес найденного значения Н_{; 2} равен

Р1Л=Р1+Р2'

В соответствии с выражением (346) можно записать

1

Ри=—'

^Ь1.2

1

Р1 + Р2

В результате имеем систему с одной узловой точкой Г. Высоту уз­ловой точки Т найдем по каждому ходу как

Н₃ = Н_с + к₃,

Н₄ = Н₀ + к₄,

^Н 1.2+5 ^{= н}1.2

Веса вычисленных из выражения (349) значений Н. будут равны:

Р 4

(350)

¹ л. ¹

(349)

Рз=-

Окончательное значение высоты узловой точки Т, найденное как среднее весовое, определится как

р₃Н₃ +р₄Н₄+р_!>2+5Н_и+5

Я_г =

Рз + Р4+Р 1.2+5

(351)

Поправки в превышения ходов находят из выражений:

— Н₃; Р₄ = Н₄ —Н_т;

^у 1,2+5

Поправки о₃ и и₄ распределяют на превышения каждого хода про­порционально длинам нивелирных линий, т. е.

(352)

где — длина /-й линии /-го хода.

Аналогично распределяют поправку и₁₂₊₅ на превышения эквивалент­ного хода и хода 5

г/

1.2 т 1.2'

^Ь1.2+5 1.2+5

Находят окончательное значение высоты узловой точки К

^нх=К_и+г;₁₂ (353)

и поправки на 1-й и 2-й ходы

№№ IV. тП1Ш ГЕДДЕЮТЕИШ СЕТЕЙ СГУЩЕЙЯ11СШЮЧИШ СЕТЙ

Отсюда

V_I={н_А-н_К)-к_I^ ^ = ⁽³⁵⁴⁾

ГИМН 11 ШЦЕЯШ МИНИНЕ ШЙИ СЕТЕ»

Далее по формуле (352) находят поправки и на каждое превышение 7-го и 2-го ходов.

(355)

Приближенную оценку точности выполняют по поправкам и., вы­числив среднюю квадратическую погрешность ц единицы веса

ру

А ^{= т}км —

где N — число ходов; г — число узловых точек.

Пример уравнивания нивелирной сети, показанной на рис. 95, при­веден в табл. 35.

Таблица 35

= 3,20,

Уравнивание нивелирной сети с двумя узловыми точками способом эквивалентной замены

Я_А = 15,000 м; Н_в = 13,000 м; Н_с = 11,870 м; Н₀ = 16.480 м

№ хода	Превышения А;, М	Высота уз­ловой точки Я„ м	Длина хода Ь(, км	Вес 1	Поправки 0, , М
1	+4,980	10,020	2,0	0,50	+42
2	+3,030	9,970	3,0	0,33	-8
3	+0,100	11,970	4,0	0,25	+71
4	+4,442	12,038	5,0	0,20	-3
5	+2,100		2,0	0,50	-37

_{н =}Р1^Н1+Р2^Н2 =_{10>000 м Р/2 = р1}+р₂=0,83, Ь_!2 = — = 1,20 КМ, Р1+Р2 Р1.2

Н_1М5=Н₁₂+Н₅ = 12,100м, р_и+5 =

Н_Т = РзН,+Р<Н₄+р„₊₅Н_{1М = ]2 04]} ^

Р3+Р4+Р 1.2+5

V, ,

^ 1.2+5 = ^НТ ~^Н,.2+5 = ~⁵⁹ ММ, V1.2 =~Г ^Ь'.2 ⁼ ~²² ММ'

^2

^нк = ^ни + V1.2 = 9,978 м, у₁ = (Н_А - Н_н ) - Н_{ = Л-42 мм, у₂ =(Н_в-Н_я)-к₂ =-8 мм, г/₃ =Н_Т-Н₃= + 71 мм,

V,

ь>₄ = Н₄-Н₃=-3 мм, г/₅=-^ы1^±-Ь₅=-37 мм,

^1.2+5

ру

~ 31 мм.

№9

А = ^ =

РАЗДЕВ 1К. ШИШЕ ГЕЦЕЗОТЕСШ СЕЯ СГЩШ IСШЖМ СЕЙ

Способ среднего весового. Этот способ приводит к тому же резуль­тату, что и способ эквивалентной замены.

В первом приближении высоты Н'_я и Н'_Т узловых точек К и Г находят

по формуле среднего весового как

тт, _ Р1^Н!+Р2^Н2

Р1 + Р2

Н\

' - РЗ^Н3+Р4^Н4 РЗ+Р4

^гАе Я, = Я_ИСГ+А, {1 = 1,2,3,4);

Веса высот узловых точек Н'_к и Н'_т равны Р*=Р1+Р2> Ря=Рз+Р4>

а обратные веса

РЯ Р1+Р2 Рг Рз⁺Р4

Вычисляют невязку по ходу кт как разность

Полученную невязку XV распределяют пропорционально обратным весам, т. е. вычисляют поправки в превышение 1г₅ и высоты Н'_я, Н'_т:

IV IV

Ы ^ч"

(356)

iv

[я]

где я*= [я] = Яз+Яя+Ят-

В результате определяют окончательные значения высот узловых точек

Н_Т = Н^_Т + V_Т\^

Учитывая, что в выражении (356) поправка о₅ в превышение Л₅ хода кт уже известна, то поправки и. в превышения 1—4 ходов определятся как

1>₃=Н_Г-~Н₃, »₄=Н₄-Н_Г

Поправки и₍ распределяют на измеренные на станциях превышения /-го хода по формуле (328) или (330).

Уравнивание системы (см. рис. 95) по способу среднего весового произведено в табл. 36.

(357)

Г1Ш 14. УИРВЩЕИЯОЕ УРАВНИВАНИЕ СЦМИИЫК СЕТЕ»

Уравнивание систем теодолитных ходов с двумя узловыми точка­ми, как и систем с одной узловой точкой (см. § 81), производят раз­дельно для горизонтальных углов и приращений координат по форму­лам (345) (357), заменив высоты узловых точек на обозначение дирекционных углов ау узловых линий и далее на обозначение коор­динат узловых точек, а веса Р_ац вычисляют обратно пропорциональ­ными числу углов хода.

Н_д= 15,000 м; Н_в= 13,000 м; Н_с= 11,870 м; Н_в= 16,480 м

Необходимо отметить, что уравнивание более сложных систем (с числом узловых точек более двух и включающих полигоны) способа­ми эквивалентной замены и среднего весового вызывает определенные трудности. Для таких систем разработаны другие способы уравнива­ния: способ последовательных приближений (итераций), способ поли­гонов и др.

Таблица 36

Уравнивание нивелирной сети с двумя узловыми точками способом среднего весового

1 x	Превышения Л„м	2 _ ё » со	Длины ходов Ь,, км	Веса 1 РГ'Х	н со	Веса Рк.Рт	Обратные веса дг, д5	Поправки мм 1	сг 1 2 л «5 ои * с о Е
1	+4,980	10,020	2,0	0,50	10,000	0,83	1,20	-22	+ 42
2	+3,030	9,970	3,0	0,33					-8
3	+0,100	11,970	4,0	0,25	12,000	0,45	2,25	+ 41	+ 71
4	+4,442	12,038	5,0	0,20					-3
5	+2,100		2,0	0,50			2,00		-37

= к₅-(Н'_т-Н'_я) = +100 мм, Н_к=Н'_я+р_л = 9,978 м; Н_т—Н_т^гУ_т—12,041 м; А ^{= т}км ⁼ 31 мм.

36 Геодезия