§ 70. Понятие о решении нормальных уравнений по способу Гаусса

Известно много способов решения нормальных систем линейных уравнений. Наибольшую известность приобрел способ последователь­ного исключения неизвестных (способ Гаусса).

(260)

Ь^ас\_х Ь^а1\

² [р™\ ³ [раа]'

Рассмотрим этот способ на системе из трех нормальных уравнений, обозначив искомые величины х_г х₂, х₃:

[раа]х_{ +[раЪ]х₂ +[рас]х₃ + [/?д/] = 0, [ раЪ)х, +[рЪЪ]х₂ +[рЪс]х₃ +[рЫ] = О,- [ рас] х_} + [ рЬс] х₂ + [ рсс] х₃ + [ рс1 ] = 0

Из первого уравнения найдем

раЬ

раа

Подставив найденное значение х_} в оставшиеся два уравнения, имеем

ГШ И. «ЦК ИЕЦЕ1Н И НМИНИ ГЕЦЕЗИЕИИ СЕТЕЙ

(_м.№11 ₊(₊и№1|

г \.Р^аа\ ) I Iр°^а\ У I IР^аа\ )

^^{рЬс]ЛраЬ}уш\^с\>+(ы-^[т]1г^]к⁺([и-^[тЛ1^й/]

(261)

Обозначим

[рЪЪ\-	[раЪ]\раЬ] [раа]	= [РЬЬ-1],
[.рЬс]-	[раЬ\[рас] [раа]	= [рЬс-1],
м-	[раЪ\[ра1\ _ [раа]	-[рЫ-1],
[рсс]-	[рас\[рас] [раа]	= [рсс-1],
[рс1\-	[рас]\ра1]_ [раа]	= [РС1-1]

С учетом этих выражений перепишем предыдущую систему

= 0,

[т™*] >

[ рЪЬ • /]л:₂ + [ /Лс • 7]х₃ +[рЫ■ 7] = 0,1

рЬЬ • 7

(262) 525

Из первого уравнения этой системы найдем х₂ и подставим во вто­рое уравнение:

рЬс-1

[/ЛЬ-/]'

Обозначив

получим

[рсс-2]х_} +[рс1-2] = 0.

Раздел IV. Уищцщ гецезнесш сете!сгуще1ияiсъемвяных сете!

Выписав первые уравнения из (260), (261) и уравнение (262), полу­чим систему уравнений

\раа\х₁ + [раЬ]х₂ +\рас\х₃ +[/?а/] = 0, [рЪЬ- 1}х₂+[рЪс- 1}х;+[рЫ-1\ = 0, [рсс-2]х₃+[рс1-2\ = 0

которая является эквивалентной системе (260) в смысле равенства кор­ней х_}1 х₂, х₃. Из последнего уравнения системы (263) найдем х₃; подста­вив его во второе уравнение, найдем х₂ и затем из первого уравнения — значение х_г

§ 71. Об оценке точности результатов уравнивания

В данном случае под оценкой точности понимают определение сред­них квадратических погрешностей измерений и функций измеренных величин после уравнивания.

Как отмечалось ранее (см. § 10), в общем случае средняя квадрати­ческая погрешность любой величины т₍ может быть найдена из выра­жения (53) как

где /л — средняя квадратическая погрешность единицы веса; р. — вес оцениваемой величины.

Таким образом, задача оценки точности слагается из двух частных задач: определения погрешности единицы веса и определения веса оце­ниваемой величины.

Величину // вычисляют по обобщенной формуле Бесселя:

(264)

где п—к — число избыточно измеренных величин.

Для нахождения весов оцениваемых величин каждую из них пред­ставляют в виде функции результатов измерений как Г = /(М_ПМ₂,М_п). Тогда вес функции может быть найден по известной формуле (65)

Обратный вес функции может быть вычислен попутно с решением системы нормальных уравнений.

(263)

Подробно вопросы оценки точности результатов уравнения рассмат­риваются в специальной литературе по вопросам математической обра­ботки геодезических измерений.

гяш и. щ1е с1еде1я1 и шиши гецезиесш сетей |