§ 68. Понятие о параметрическом способе уравнивания

Постановку вопроса рассмотрим на примере многократной линей­ной засечки (рис. 89). Пусть 1, 2 ,3 и 4 — исходные пункты, т. е. изве­стны их координаты. Измерены длины линий с?₂, <1₃, й₄. Известны также средние квадратические погреш­ности измерения расстояний т₁ (г = 1, 2, 3, 4). Требуется определить коорди­наты пункта К (л:_л, у_к).

При параметрическом способе урав­нивания в качестве параметров обыч­но принимают координаты опреде­ляемых пунктов (в рассматриваемом случае х_к, у_к).

(243)

Для определения двух параметров (координат пункта К) достаточно двух расстояний, следовательно, в нашем примере имеются два избыточных из­мерения. Связь измеренных расстоя­ний с координатами пунктов можно записать в виде

(242)

В общем виде выражение (242) запишется как

м,		...г,У
м2		-.Г,).
К

где Т — уравненные значения искомых параметров; М — уравненные значения измеренных величин.

Уравнения системы (243) называют параметрическими уравнениями связи.

Рис. 89. Схема к уравниванию линейной засечки параметриче­ским способом

Заменив уравненные значения М. на измеренные М₁ с поправками Ор имеем

Раздел IV. Ура1шше геодезически сетей сгуцеш и съеминыи сетей

Л/,. =М,.+г/.. Тогда из системы (243) найдем

тум,,

(244)

(245)

г,₂=Г₂(Т„Т₂,...,Т,)-М₂

Уравнения (245) называют уравнениями поправок в общем виде. Задача уравнивания состоит в нахождении поправок и₍ (/ = 1, 2, ..., п)

и параметров 7\ (/ = 1, 2, ..., ().

Для решения системы (245) приведем функцию Р_{ к линейному виду путем разложения ее в ряд Тейлора, ограничиваясь при этом первыми членами, что возможно, если предварительно известны приближенные

значения параметров Т°. В нашем примере в качестве приближенных

значений параметров Х°_к, У°_я можно принять значения координат, вы­численных по одной паре измеренных расстояний. Тогда

Яр Лг

дк

д7^=а>^;

дР.

± = 1,,

дт.

(246)

Обозначив частные производные

д7Г^Ь>

У " ^л2

получим систему (245) в линейном виде

у.=а₁дТ₁+Ъ.₁дТ₂+..Л1₁дТ₁+Р₁{т1Т°₂, .... Т₍°)-М_г

Так как известны значения измеренных величин М₍ и приближен­ные значения параметров т. е. известны функции Р^.Т^, 7^), то

последние два члена можно принять в качестве свободного члена урав­нения

(247)

Подставив выражения (246) и (247) в (245), получим параметриче­ские уравнения поправок в линейном виде

г>₇ = а₁дТ₁ + Ь}дТ₂ +... + 1₁дТ₁ + с весом р₁, у₂ = а₂ЗТ_} + Ъ₂дТ₂ +... + +1₂ с весом р₂,

"_п=<*_п<5Т1+Ъ_пдТ₂+...+1_пдТ₁+1_п свесом р_п

ПШ 12. ДНЦЕ С1ЕДЕИ Н УРАВЙ11ДИ1 ГЕЦЙНЕСЩ СЕТЕ!

Поскольку истинная погрешность измерения А. характеризуется тем же весом, что и результат измерения (см. § 11), с учетом --А. можно принять, что каждая поправка у. в системе (248) имеет вес, равный весу соответствующего измерения М. и получаемый по формуле

а-%. ⁽²⁴⁹⁾

где /л — средняя квадратическая погрешность единицы веса (выбирается произвольно); т₍ — средняя квадратическая погрешность измерения.

Однако система (248) дает бесчисленное множество решений, так как имеет л уравнений и (п + I) неизвестных. Поэтому применим прин­цип наименьших квадратов (241), обозначив

* = [>'] = 2 л (*№ + ъ₍дт₂ +...++ /, )².

1 = 1

Для нахождения минимума функции Ф необходимо найти произ­водные функции Ф по всем аргументам о., т. е. по ЗТ., и приравнять их к нулю. Частная производная функции Ф по первому параметру будет иметь вид

дФ ^п

дЩ) = 12р, + Ъ_{дТ₂ +... + 1,дТ, +/₍)а, = = (Р^Т, + + рр&дТ, +... + р_{а_{1,6Т₍ + _РЛ1,) = 0.

Откуда имеем

/=/ 1=1 1—1 1=7

Найдем частную производную функции Ф по второму параметру ЗТ₂.

дф п п п п

Аналогично найдем частные производные по всем другим парамет­рам ЯГ. и, введя обозначения Гаусса, запишем

[ раа] дТ₂ +... + [ ра(] дТ_г + [ ра1] = О

(250)

[ раЬ] дТ, + [ рЪЬ] дТ₂ +... ■+ [рЫ ] ЗТ₍ + [ рЫ] = О,

[ раг\д Т_{ + [рЬг\дТ₂ +... + [рн]дТ, + [ рй] = О

Система (250) является системой нормальных уравнений размера I х I и симметричной относительно главной диагонали. По главной диа­гонали расположены квадратичные коэффициенты (всегда положи­тельные). Неквадратичные коэффициенты располагаются симметрич-