Раздел II. Гвдривие раитм п ими т1ррит1ря1

т. е. задача не имеет решения. Чем ближе к «опасному кругу» располагается опреде­ляемая точка, тем менее надежной будет засечка.

Существует около 100 способов и прие­мов решения задачи Потенота по обобщен­ным формулам Ж. Деламбра, М. Кнейссля, И.Ю. Пранис-Праневича, Ф.Ф. Павлова и др. Ниже рассмотрены способы обратной засечки с использованием формул Деламб­ра и Кнейссля.

Способ Деламбра Сущность способа состоит в приведении решения обратной засечки к решению прямой засечки по формулам Гаусса. Для этого необходимо по имеющимся исходным данным найти дирекционные утлы направлений с исходных пунктов на определяемую точку.

Пусть на определяемой точке Р (рис. 46) измерены углы между направлениями на исходные пункты I, 2 и 3; направление на пункт 1 принято за начальное. Обозначив дирекционный угол начального направле­ния Р-1 через а_г дирекционные углы на­правлений на пункты 2 и 3 можно запи­сать как

Рис. 45. Схема к понятию «опасного круга»

Рис. 46. Схема к решению обратной засечки способом Деламбра

Из решения обратной геодезической задачи следует:

(154)

Уз-Ур = {^хз -*/>)«(«/ + А)-

В полученную систему уравнений входят три неизвестных: х_р, у_р и а_у Используя известную формулу преобразования для тангенса суммы углов, можно записать:

1-18*2,-18/7,

Умножив числитель и знаменатель правых частей уравнений (154) соответственно на с1д и с(д Р₂ , получают:

Тогда с учетом выражений (155)

Избавившись от знаменателя, получают:

У₂^с*%а - УрС^а -Уг¹8<*\ + Ур<8*I = -^хр*8*\<*8а\ +^х2~ ^хр'>

Уъ*ёАг " Ур*8Аг ~ Уъ*8^а\ + Уг*8<*\ = ^а^Аг " ^хр*8*^8А₂ + х,~х_р. Вычтя первое уравнение из второго, получают:

~ У2^С*8 А! - У рС% А2 + УР<*8 А, -У + У 2*8*1 =

= х/§а_}с^А₂ ~^х2¹%^а\^с1%А1 - ^х_р*8*,с*8 А₂ + ^хр*8*1&8А₂ +х₃-х₂. Из уравнения (153) находят

Ур=У1-(*1-ХР)*8<*1 и подставляют его в выражение (156):

Уз^с*8А₂ " У ₂^с*8 А, -У№А₂+ ^х!*8Я,С(§А2 ^ ^х р*8* ^8 А₂ + +У,С1%А! ^8*^*8 А, + ^хР*8*,С*8А} - У3*8*1 + У 2*8*1 =

= х^а₁с1^а₂ - ^х2 *8 *, а8 аI ~ ^хр*8^а 1^с*8а₂ + ^хр*8* №а) +х>-х₂.

Сгруппировав члены, содержащие неизвестное 1д после приве­дения подобных членов получают:

1%а_{ (х₁сг^а₂ - ^хр^с*8а₂ - ^х!^с*ёа, + ^хрС*%а1 ~ ^хз^сг8а₂ + ^х2^с*8а\ + ^хр^с^а₂ ~

~^хрС*8А,)~Уз+У₂= ~Уз^с*8А₂ + У2^с1%А, + У 1^8А2 -У&8А1 + х₃ -х₂. Отсюда

₌ (у₂-у,)*8А, Ну, ~ У з)^с*8 А2 ~~^х2 +^хз ₌ А у ^ё ' (Х₂-Х,)С12А₁Н^х₁-^хз)*8А2+У2-Уз а*' ⁽¹⁵⁷⁾

Полученное выражение называется формулой Деламбра. Дальнейшее решение задачи выполняют в следующей последователь­ности.

(156)

ГМИ 1.1ИЦРВНЕ 1И11ИН ЩЮШИИИ 1ИЯУ1ВУН1ТИ

(155)

1. Из выражения (157) находят значение дирекционного угла на­правления с исходного пункта 1 на определяемую точку Р ос_/__р= а₁ как

ИЗДЕ111. ГЕЦЕЗИЧЕСШ Ш И ИМИ 1ЕМШ

Ьу

2. Определяют дирекционные углы направлений с других исходных пунктов (2, 3, 4):

^а2.р = ^а\.р + А> ^аъ-р = + А; #А-Р = + А-

2. Используя формулы тангенсов или котангенсов дирекционных углов направлений с исходных пунктов на определяемую точку Р (фор­мулы Гаусса), вычисляют координаты точки Р в нескольких комбина­циях. Первое решение получают при использовании дирекционных углов а_1Р и а₂__р или а₂__р и а₃__р; для второго решения используют ди­рекционные утлы а_{З Р} и а₄__р или а_ьр и а₄__р. Второе решение является контрольным и независимым от первого, так как угол р_у участвующий в определении дирекционного угла а_4-р (формула 157), не использовал­ся при вычислении утла а_{__? по формуле Деламбра.

Пример решения обратной засечки по вышеприведенной методике с помощью микрокалькулятора приведен в табл. 15.

Таблица 15

Решение обратной геодезической засечки (с использованием формулы Деламбра)

Рабочие формулы

₌ (У2 ~У+{У>-Уз)^с*8& + ^ Ау _: " {^х2~^х,) + (*/ ~ ) +У2-У3 ^Лх

<*2-Р = ^а1 -Р + А I ^аз.р = ^а1-Р + Рг \ ^аА-Р = ^а1 -Р + А '

_х - ^Х7*8^а7-Р + У7 - У\ .

^р р -

Ур = УI +{^ХР -*/)«««> = У2 + (*/> -^Х2)<8<*2-Р' Контроль: х_р = +

Схема

Ур = Уз + {^хр-^хз)%^аз-р = У₄+{^хр ~^х4)*2^а4-р •

Формулы			Значения	Формулы		Значения	Формулы	Значения
(1)		У*	3 0272,23	(2)	Х1	33 183,24	Конц	ооль
(3)		У2	29038,52	(4)	х2	32543,61		304°59'59"
(5)		У)	27666,31	(6)	х3	33449,18	Р>	121°39'20"
(7)		У4	29827,31	(8)	х4	35322,52	а7,Р	66°39'19"
(9)	Уг	~У1	-1233,71	(П)	Х2-Х,	-639,63	Ру	266°30'14"
(Ю)	Уг	-уз	+2605,92	(12)	Х1 ~х3	-265,94	«4 -Я	21Г30'13"
(13)		А	55°1Г29"	(14)		12Р39'20"		2,316990

ПШ I. ГОЦЕКИЕ11Й11ЕЙ11 ЦНИКШИЫ1 «ШУИ ПУШТИ

Окончание табл. 15

Формулы	Значения	Формулы	Значения	Формулы	Значения
(15) О? А	0,695241	(16)	-0,616542		0,612887
(17) Ау (числ.)	-1 558,81	(18) Адг (знам.)	+ 1091,48		1,704 103
(19) т*	—1,428 162	(20) ^	304°59'59"	хр	34043,54
(22) (%аг.Р	0,003336	(21)	0в1Г28"	хр2~хз	+ 594,36
(23)	-1,431 498	(24) х,	34043,57	Ур	29043,44
(25) хР2-х,	+ 860,33	(26) хр2~ x:	+1 499,96	хр2~х4	-1278,98
(27) /я	29043,53	(28) уР	29043,53	Ур	29 043,44

Средние значения координат: х_ср = 34 043,56 м; У_ср = 29 043,48 м.

Способ Кнейссля. Порядок решения обратной засечки этим спосо­бом, так же как и способом Деламбра, заключается в нахождении ди­рекционного угла начального направления с определяемого пункта Р на исходный пункт, а затем — в вычислении координат определяемого пункта Р (см. рис. 46).

Решение задачи выполняется в следующей последовательности (без вывода формул).

1. Вычисляют вспомогательные коэффициенты:

К = (^х2 -Х,)<*8А +(У₂ -у,);

ь₂ = (у₂-У,)^с*8/?1-{*2 -*/)/

, / Ч _л / ч (158)

к₃ = (х₃ -х, + (у₃ —у,);

2. Находят котангенс дирекционного угла начального направления на определяемую точку:

3. Определяют приращения координат искомой точки Р относитель­но исходного пункта 1:

. к ^ ск₂ к₃ ск₄

(160)

4. Вычисляют координаты точки Р:

х_р = х, + А х_1тР; у_р=у_} + А у,__р.

Для контроля определения положения точки Р используют третий измеренный угол между направлениями на один из первых трех пунк-

рада и. гсцвяЕст тт и ими шито

тов и на четвертый исходный пункт, т. е. решают задачу в другой ком­бинации исходных пунктов. Этот контроль включает в себя и контроль полевых измерений. Ниже приведен пример решения обратной засеч­ки способом Кнейссля в двух комбинациях: / — по исходным пунктам 1, 2, 3 и II — по пунктам 1, 2, 4 (табл. 16).

Средняя квадратическая погрешность определения положения точ­ки Р по трем исходным пунктам (см. рис. 45, а) находится по формуле

где т_в — средняя квадратическая погрешность измерения угла; р— радиан (р =206 265").

Погрешность определения положения точки Р из двух решений

М = (162)

Допустимость расхождений в значениях координат точки, получен­ных из двух решений (х', у\ х", у"), устанавливают согласно условию

Г = 7(лг' - X^я)² + (у' — у")² < 3М. (163)

При соблюдении условия за окончательные значения координат принимают средние арифметические их значения из двух решений.

Таблица 16

Решение обратной геодезической засечки способом Кнейссля

Рабочие формулы к, = {х₂ - х,)с1§р, + (у₂ - у,)

4 (3) к₃ = (х₃-х,)с1%р_г +(у₃-у,)

К=(Уз~ У/ )^с1ёР: ~ (^хз ~ х,)

к_{-к₂

^с — ^с^^а1-р ⁼ п _ г? ;

2 4

Д V ₌ ^к1~^с1с2 - ^кг ~ .

1 + с² 1 + с² ' 1(1) Ах^_р=с-Ау^_р;

хр *— X] ₅

Схема

3 (2)

/ А \

у_р = у₁ + ьу,.р-

ГШ I. МВДЕШ Ш6ЮИ ЦЮИШ11 Н1ДЫ1 ДУШИВ

Исходные данные

Пунк­ты	Координаты		Измеренные направления	Пункты	Координаты		Измеренные направления
	X	У			X	У
I комбинация (пункты 1, 2, 3)				II комбинация (пункты 2, 3, 4)
1	33 183,24	30 272,23	0°00'00"	10)	33 183,24	30 272,23	0°00'00"
2	32 543,61	29 038,52	55°1Г29"	3(2)	33 449,18	27 666,31	121°39'20"
3	33 449,18	27 666,31	121°39'20"	4(3)	35 322,52	29 827,31	266°30'14"

Решение

Порядок действий	Формулы		Значения
			I комбинация		II комбинация
1, 2	х2-х,	У2-У1	- 639,63	- 1 233,71	+ 265,94	- 2 605,92
3, 4	х3-х,	УЗ-У1	+ 265,94	-2 605,92	+ 2 139,28	-444,92
5, 6	С'еР,		+ 0,695241	-0,616 542	-0,616 542	+ 0,061 095
7, 8	к,	к2	-678,41	-218,10	- 2 769,88	+ 1 340,72
9, 10	кз	к<	-2 769,88	+ 1 340,72	-314,22	- 2 166,46
11, 12	к,-к3	к2-к4	+ 1 091,47	- 1 558,82	-2 455,66	+ 3 507,18
13, 14	с		-0,700196	+ 1,490 274	-0,700 181	+ 1,490 253
15, 16	ск2	ск4	+ 152,71	- 938,77	-938,75	+ 1 516,91
17, 18	к1 - ск2	к3 - ск4	-1 831,12	-1 831,12	-1 831,13	- 1 831,13
	АУ,.,		- 1 228,71		- 1 228,74
			+ 860,34		+ 860,34
21, 22	Хр Уг		34 043,58	! 29 043,52	34 043,58 29 043,49

Средние значения координат: х_ср = 34 043,58 м; у_ср = 29 043,50 м.