§ 36. Обратная геодезическая засечка (задача Потенота)

Обратная геодезическая засечка заключается в определении коор­динат дополнительной точки Р (рис. 44, а) путем измерения на этой точке углов /?₂ между направлениями как минимум на три исходных пункта с известными координатами.

Полное решение этой задачи было разработано французским мате­матиком Лорано Потенотом, поэтому определение координат точки методом обратной засечки часто называют задачей Потенота.

При решении обратной засечки исходные пункты следует нумеро­вать (рис. 44, а) по часовой стрелке, считая от наблюдателя (точки Р).

На практике для получения надежного контроля и повышения точ­ности определения координат искомой точки применяют многократ­ную обратную засечку не менее чем по четырем исходным пунктам (рис. 44, б). В этом случае решение обратной засечки выполняют неза­висимо по двум комбинациям исходных пунктов (напр., пункты 1, 2, 3 и 2, 3, 4).

В (2)

А(1)

С(3)

Рис. 44. Обратная геодезическая засечка: а — по трем пунктам; б — по четырем пунктам

Пусть даны координаты исходных пунктов 1 (х_}, у_х), 2(х% у₂) и З(х₃, у₃); на определяемом пункте Р измерены горизонтальные углы /З_г (рис. 44, б). Требуется определить координаты пункта Р (х_р у_р).

Задача решается в следующей последовательности. 1. По известным координатам пунктов 1, 2 и 3 находят дирекцион- ные углы сторон и их горизонтальные длины:

Уо — У]

I..

Х₂ Л_х

Х*у х.

5111^.2 СО$а_и2'

2. Вычисляют значение угла 1-2-3:

/.1-2-3 = у + 3 = а_2А - а_ъъ.

зш^з с08<2%_₃*

рдзде1ii. геце311еше ш1ты ц идиш тйншщ

3. Определяют горизонтальные углы <р_} и <р₂ при исходных пунктах 1 и 3, для чего:

а) находят сумму углов <р₁ и <р₂ как

б) определяют разность углов и <р₂. Для этого из треугольников 1-2-Р и 2'3'Р составляют соотношения:

а ~~ 81П Д ' Ь 8Ш '

Отсюда можно записать

6 51П _ 81П^

азт/?₂ ~ 8т^₂ ' (149)

В дальнейшем это выражение служит контролем вычисления углов <Р, ^и <Рт

Для удобства дальнейших преобразований в выражение (149) вводят обозначение

где 0 — вспомогательный угол.

К полученному выражению сначала прибавляют, а затем вычитают единицу:

31П ~~ 1%0 ' 8Ш '

51П^ ^ _ 1 8111^ —31П^₂ _ 1 —

81П " 1%0 ' 8Ш

Разделив первое соотношение на второе, получают

8т^ -I- 8111^2 _ 1 +

Преобразовав левую часть равенства по формулам половинных уг­лов, получают

2зт У^П+ъУсоз¹/^-?;) ^ <245° + 120 2 соз зт¹/₂(р₁ - р₂) }—1%45° •

Поскольку

то формулу (156) можно представить в виде

Ч У₂(Г, -Л) = « ^(л(152)

яш i. ивдвене ишни цниипаиш виорнык пттвв

Подставив в формулу (152) значения суммы углов + ^и У^гла найденного из выражения (150), определяют полуразность

в) зная полусумму и полуразность, находят значения углов <р_} и <р₂\

Я—2-+ > ^ 2 2 •

Контроль правильности вычисления углов <р₁ и ср₂ производят по формуле (149).

4. Из треугольников 1-2-Р и 2-3-Р определяют углы у и 5\

д = 180° —

Контроль: у + д = 1 -2-3.

4. Находят дирекционные утлы а_ир и и горизонтальные длины сторон (1_р й₂ и

^а\ -р = ^а\л + л; ^з-р = ~ ^

_ Д81П/ - _ &8Н1 д , _ _

^ ~ 81пД ¹ " 81П ⁵ ^ " 8Ш Д " 8ш/₂ '

4. Вычисляют приращения координат точки Р: относительно точки 1

А= с! ₁ соз а_ир; Ау_ир = зт а _1Р.

4. Определяют координаты искомой точки Р дважды: относительно точки 1

х_р = х_} + Ддс,__р; = у, + Дд^;

относительно точки 3

х_р = х₃ + Ах₃__р; у_Р=у₃ + А Ум .

Двойные значения найденных координат точки Р дают контроль вычислений.

Погрешность определения положения искомой точки в значительной степени зависит от ее расположения относительно исходных пунктов. Наилучшие результаты получают в случаях, когда определяемая точка находится внутри треугольника, образованного исходными пунктами, либо вне его напротив одной из вершин треугольника. Если определяе­мая точка лежит на окружности, проходящей через три исходных пунк­та («опасный крут»), то задача становится неопределенной (рис. 45).

Как следует из рис. 45, суммы вписанных в окружность углов

Тогда = =