§ 15. Оценка точности измерения углов и превышений по невязкам в полигонах и ходах

Полученные при измерениях результаты часто должны удовлетво­рять определенному геометрическому условию. В этих случаях точность измерений можно оценить по невязкам, возникающим вследствие по­грешностей измерений. При этом веса измерений удобно выражать не через средние квадратические погрешности, которые обычно неизвест­ны, а через другие числовые характеристики измерений. Например, как указано выше, вес арифметической середины равен числу измерений, из которых она получена. При измерениях углов способом круговых приемов за веса принимают число приемов в отдельных измерениях; при этом вес одного приема равен единице.

НЕКОТОРЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Глава 4

Рассмотрим далее решение некоторых практических задач.

1. В результате измерения углов в сети триангуляции получены невязки треугольников Их можно рассматривать как истинные погрешности суммы трех углов, измеренных равноточно. Поэтому сред­няя квадратическая погрешность суммы углов треугольника может быть найдена по формуле Гаусса как

где N — число треугольников.

23 Геодезия

Согласно формуле (19) для средней квадратической погрешности суммы углов треугольника т имеем

сум

т.

где т * — средняя квадратическая погрешность измерения одного утла.

Тогда

Раздел I. 31еме1ты тедрмя игредидсте1 имеревщ

Выражение (75) называется формулой Ферреро по имени предло­жившего его итальянского геодезиста и является международной для оценки точности измерения углов в триангуляции.

2. Имеем систему из ЛГ полигонов (ходов) с числом равноточно из­меренных углов п_}, п₂, ..., п_ы, в каждом из которых известны невязки А ' ' /а- •

Поскольку угловые невязки в полигонах вычисляются по тому же принципу, что и истинные погрешности А, то в формуле (58) можно заме­нить А на , а число погрешностей л на число невязок (полигонов) N. Тогда

\рП

. N ■ (⁷⁶)

Примем вес измерения /-го утла (/ = 1, 2, ..., л) у-го полигона {] = 1,

2, ..., равным единице, т. е. Р^ -1- р^ .

Согласно выражению (66) вес суммы углов ]-го полигона

1

Тогда формулу (76) можно записать в виде

&

⁽⁷⁷⁾

Величина }Л в формуле (77) есть средняя квадратическая погрешность

измерения одного утла, так как ^р# ~ ~ ¹ , т. е. /г = т^.

3. В сети N полигонов геометрического нивелирования получены невязки Д , Д , /ь_я в суммах превышений полигонов (ходов), пери­метры которых 1_/г (в километрах).

Невязки Д в полигонах представляют собой погрешности соответ­ствующих сумм превышений. Принимая вес превышения в полигоне длиной 1 км равным единице, имеем

_ у _ ^{Ркм е}* ^ ⁼

Число таких приведенных на 1 км превышений в у-м полигоне равно а вес суммы превышений в этом полигоне

1

Как и в предыдущем примере, заменим в формуле (58) А на /_н, п на N и />, -у". Тогда средняя квадратическая погрешность единицы веса определится по формуле

ПИЦ I ИГО* ИИПНИИЕ МИМ ЩШ 1НЮ1 ИИИЧ

ш

N '

(78)

где I -г длина хода, км.

В случае тригонометрического нивелирования превышения вычис­ляют как

к = (Иду,

где й — горизонтальное проложение линии; у — угол наклона линии. При малых углах наклона можно принять

Н = с[У

рад'

где у_рад — угол наклона линии в радианной мере.

1

(79)

В соответствии с формулой (65) обратный вес превышения

1 1

— =—

(80)

А Ра

Пренебрегая первым членом выражения (79) ввиду его малости, имеем

Рк А^

Считая измерения углов наклона равноточными и приняв р_Ура) = 1, получим

1

(81)

Тогда для системы из N полигонов тригонометрического нивелиро­вания по аналогии с формулой (78) получим

N ' (82)

где В — периметр полигона, км.