§ 12. Веса функций независимых измеренных величин

Для получения средней квадратической погрешности любого резуль­тата измерений, в том числе и функции измеренных величин, необхо­димо знать погрешность единицы веса ц и вес Р этой функции.

Пусть имеем функцию общего вида у-х_2>*_и), аргументы ко­торой измерены с весами р_г р₂, ..., р_Л.

Средняя квадратическая погрешность исходной функции определит­ся из известного выражения

2

Разделив обе части этого равенства на //² и учитывая, что Л-^т, получим обратный вес функции

±ж)² .±ж)² ._и +щ² - л (^б5)

^РУ \^дх\) А \^дх2> Рг "' \^дхп! Рп '

Следовательно, обратный вес функции независимых аргументов равен сумме произведений квадратов частных производных по каждому аргументу на обратные веса соответствующих аргументов.

Рассматривая другие функции как частные случаи функции общего вида, запишем формулы определения обратных весов для некоторых функций измеренных величин.

1. Алгебраическая сумма измеренных величин у = х₁±х₂±...±х_п.

¹ 1

(66)

У

2. Произведение двух независимых величин у-х-г.

1 1 2,1 2

тгх^г +т:^х • (67)

Для частного случая функции у = к-х, где к — постоянная величина.

1 1

тгт;^к- ^

(70)

X

3. Частное двух независимых величин у = -.

1 11 \ х¹

4. Линейная функция у = к₁х_]±к₂х₂±...±к_пх„.

Р_у Р. ¹ Рг ² А "'

Раздел I. Элементы 1е8рн ше11к1е1 имереш

§ 13. Обработка результатов неравноточных измерений одной величины

Обработку ряда неравноточных измерений одной и той же величи­ны выполняют в следующей последовательности.

1. Находят веса результатов измерений. Если средние квадратиче- ские погрешности результатов измерений т₍ известны заранее, то веса вычисляют как

с

Если средние квадратические погрешности результатов не извест­ны, то в качестве весов принимают численные характеристики ряда измерений (число измерений в отдельных сериях измерений, число станций в ходах, длины ходов и т. п., при этом число приемов увеличи­вает вес).

2. Вычисляют наиболее надежное значение измеряемой величины, т. е. весовое среднее

м-

Для упрощения вычислений рекомендуется использовать формулу

Х = 1

° [р]'

где е — остаток, определяемый как разность между результатом каж­дого измерения и выбранной величиной, т. е. е_{ = I. — 1₀.

3. Вычисляют уклонения результатов измерений от весового сред­него

Вычисленные значения уклонений и и весового среднего X конт­ролируют равенством [ри] = 0.

Если значение X дается с округлением, то контроль выполняют по формуле

где а>₀ — погрешность округления X .

4. Вычисляют и контролируют величину [ри²] по формуле

5. Определяют среднюю квадратическую погрешность единицы веса и оценивают ее надежность:

Г«Ш 3.1ЕМШТП1УЕ НИЕКШ

6. Если средние квадратические погрешности отдельных измерений заранее не были известны, то их вычисляют по формуле

_т _ А УА

Обработка результатов неравноточных измерений угла

Пример. Угол измерен различным числом приемов п. в четырех сериях. Известны средние арифметические значения угла в каждой серии измерений х,. Произвести полную математическую обработку результатов измерений по данным, приведенным в табл. 4.

Таблица 4

Номер серии	Среднее арифмети­ческое зна­чение угла в серии х.	Число приемов и,-	Вес п Р = ~2	е	ре		и	ри	ри2
1	78°25'10"	12	6	0"	0м	0		-24,0"	96,0	4,3м
2	16	10	5	+6	+30	180	+2,0	+10,0	20,0	4,7
3	12	6	3	+2	+6	12	~2,0	-6,0	12,0	6,0
4	24	4	2	+14	+28	392	+10,0	+20,0	200,0	7,4
1о =	18°25Ч0Щ		16		+64	584		0	328,0

[/>] 16

X = 1₀ + ^ = 78Г25Ч0Г + 4,ОТ = 78'25'14,0".

I р\

Контроль: [ри] = [рг²У^{= 584}~~^~ ^{= ш}

_шШ_ш101у_{т1<Г; 4}

V 4-1 ' ^2{И-1) -Л

Ответ: 78°25'1Г, с М₀ » 3