§ 10. Веса независимых измерений и их свойства. Весовое среднее, или общая арифметическая середина

В практике измерений часто встречаются случаи, когда в ряду изме­рений различные результаты получены в различных условиях, прибо­рами различной точности, различным числом приемов и т. п., т. е. ре­зультаты таких измерений являются неравноточными. В этих случаях при определении наиболее надежного значения измеренной величины нельзя пользоваться средним арифметическим, которое не учитывает степень надежности каждого отдельного результата измерений.

Глава 3

Измерения, выполняемые в неодинаковых условиях, характеризуются различными средними квадратическими погрешностями. Поэтому за характеристику степени доверия к результатам измерений логично при­нять величины, обратно пропорциональные квадратам их средних квад- ратических погрешностей. Такая величина, характеризующая в числен­ном виде надежность результата, называется весом измерения.

с

,²'

т\

(51)

где р. — вес /-го измерения; с — коэффициент пропорциональности, постоянный для всех измерений ряда с > 0; т₍ — средняя квадратиче­ская погрешность 1-го результата измерений.

Поскольку коэффициент с может назначаться произвольно, то мож­но заключить, что вес измерения является относительной характерис­тикой, дающей представление о точности этого измерения только при сравнении с весами других измерений того же ряда. При этом чем больше вес измерения, тем оно точнее по сравнению с другими изме­рениями.

Для сравнения точности нескольких рядов неравноточных измере­ний служит средняя квадратическая погрешность /л результата измере­ния, вес которого принят за единицу, или средняя квадратическая погрешность единицы веса.

(52) 343

Для ряда измерений величины /. (г = 1, 2, п) со средними квадра­тическими погрешностями т₍ примем

риде11.31еме11ы теми овгрешисте! измени!

Отсюда следует, что ^ = с, что поясняет неравенство с > 0. Тогда веса результатов измерений запишутся как

Г.Г. Доклад С.П. Гриднев 1

ГЕОДЕЗИЯ 1

ГЕОДЕЗИЯ 6

Глава 8 70

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ И ИХ ТОЧНОСТЬ 70

§ 28. Процессы производства геодезических работ 70

§ 29. Единицы измерений, применяемые в геодезии 71

§ 30. Понятие о погрешностях измеренных величин и характеристиках точности измерений 72

§ 31. Требования к оформлению результатов полевых измерений и их обработке 75

Глава 9 81

УГЛОВЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ 81

§ 32. Принцип измерения горизонтальных и вертикальных углов 81

§ 33. Классификация теодолитов 82

§ 34. Принципиальная схема устройства теодолита 84

§ 35. Горизонтальный круг. Отсчетные устройства 85

§ 36. Зрительные трубы 90

§ 37. Уровни 95

§ 38. Вертикальный круг теодолита 101

§ 39. Устройство технических теодолитов 109

§ 40. Поверки и юстировки теодолита 112

§ 41. Установка теодолита в рабочее положение 126

§ 42. Измерение горизонтальных углов 126

§ 43. Погрешности измерения горизонтальных углов 129

§ 44. Измерение вертикальных углов 106

§ 45. Измерение теодолитом магнитного и истинного азимутов направлений 108

§ 46. Понятие об электронных и лазерных теодолитах 113

Глава 10 10

ЛИНЕЙНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ 10

§ 47. Способы измерения длин линий 10

§ 48. Механические приборы для непосредственного измерения длин линий 10

§ 49. Компарирование мерных приборов 120

§ 50. Понятие о свето- и радиодальномерах 122

§ 51. Оптические дальномеры. Нитяной дальномер 124

Глава 11 12

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЪЕМКАХ 12

Глава 12 10

ТЕОДОЛИТНАЯ СЪЕМКА. ПОЛЕВЫЕ РАБОТЫ 10

Глава 13 178

КАМЕРАЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПРИ ТЕОДОЛИТНОЙ СЪЕМКЕ 178

, -Лбе_ Ул²+л² 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ЗЕМЕЛЬНЫХ УГОДИЙ 189

§ 71. Аналитический способ определения площадей 189

§ 72. Графический способ определения площадей 190

§ 73. Механический способ определения площадей 194

§ 74. Измерение площади планиметром 199

§ 75. Порядок определения площадей земельных угодий, их увязка и составление экспликации 204

Глава 15 206

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ НИВЕЛИРОВАНИЕ 206

§ 76. Сущность и способы геометрического нивелирования 206

§ 77. Влияние кривизны Земли и рефракции на результаты геометрического нивелирования 210

§ 78. Нивелиры и их классификация 213

§ 79. Нивелирные рейки. Установка реек в отвесное положение 214

§ 80. Устройство нивелиров 217

§ 81. Поверки и юстировки нивелиров 221

§ 82. Основные источники погрешностей геометрического нивелирования 224

§ 83. Нивелирование III и IV классов 227

§ 84. Техническое нивелирование 230

§ 85. Продольное инженерно-техническое нивелирование 231

§ 86. Обработка журналов нивелирования 250

§ 87. Составление профиля трассы 232

§ 88. Нивелирование поверхности 236

§ 89. Понятие о лазерных и цифровых нивелирах 245

МЕНЗУЛЬНАЯ СЪЕМКА 240

§ 90. Сущность мензульной съемки 240

Глава 16 240

§ 91. Приборы, применяемые при мензульной съемке 243

§ 92. Поверки мензулы и кипрегеля 246

§ 93. Установка мензулы в рабочее положение 249

§ 94. Подготовительные работы при мензульной съемке 250

§ 95. Создание сети съемочного обоснования 251

§ 96. Съемка ситуации и рельефа 267

Глава 17 271

ТАХЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СЪЕМКА 271

§ 97. Сущность тахеометрической съемки 271

§ 98. Приборы, применяемые при тахеометрической съемке 272

§ 99. Создание сети съемочного обоснования 280

§ 100. Съемка ситуации и рельефа 281

§ 101. Камеральные работы при тахеометрической съемке 287

Глава 18 290

АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ СЪЕМОК 290

§ 102. Понятие об автоматизированных методах топографических съемок 290

§ 103. Электронная тахеометрическая съемка 295

§ 104. Определение положения точек земной поверхности с помощью геодезических спутниковых систем 300

§ 105. Понятие об автоматизированных способах построения плана по цифровой модели местности 307

Глава 19 12

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ РАБОТЫ НА СТРОИТЕЛЬНОЙ ПЛОЩАДКЕ ПРЕДПРИЯТИЙ 12

§ 106. Этапы геодезических работ при строительстве сооружений 12

§ 107. Составление проекта вертикальной планировки строительной площадки 14

§ 108. Геодезическая подготовка данных для перенесения проекта в натуру 23

§ 109. Строительная координатная сетка 308

§ 110. Элементы геодезических разбивочных работ 311

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ РАЗБИВОЧНЫЕ РАБОТЫ 311

§111. Перенесение проектных отметок на рабочие горизонты 317

§ 112. Способы перенесения в натуру точек и осей сооружений 320

т_й = ту]2, 52

2 = р% 1П0, 143

§ 20. Системы координат Государственного земельного кадастра 40

§ 21. Преобразование координатных систем 41

Глава 6 53

ОПОРНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ 53

§ 22. Классификация геодезических опорных сетей 53

§ 23. Традиционные методы построения государственных геодезических сетей 54

§ 24. Геодезические сети сгущения и съемочные сети 62

§ 25. Совершенствование системы геодезического обеспечения в условиях перехода на спутниковые методы координатных определений 63

§ 26. Геодезическая основа межевания земель 64

§ 27. Закрепление и обозначение на местности пунктов геодезических сетей 65

Глава 7 26

СОЗДАНИЕ И РЕКОНСТРУКЦИЯ СПУТНИКОВЫХ ГОРОДСКИХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ 26

§ 28. Городские сети и их классификация 26

§ 29. Требования к закреплению пунктов спутниковых городских геодезических сетей 29

§ 30. Основные принципы построения спутниковых городских геодезических сетей 30

§ 31. Наблюдения на пунктах спутниковой сети 33

§ 32. Предварительная обработка спутниковых наблюдений 36

§ 33. Городская полигонометрия 37

§ 34. Обработка и уравнивание городских геодезических сетей. Составление каталогов координат 38

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОПОРНЫХ ПУНКТОО 43

§ 35. Прямые геодезические угловые засечки 43

§ 36. Обратная геодезическая засечка (задача Потенота) 436

§ 37. Комбинированная геодезическая засечка 453

Глава 9 29

УГЛОВЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ В ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЯХ СГУЩЕНИЯ 29

г = +0,3' 190

Глава 10 219

ЛИНЕЙНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ В СЕТЯХ СГУЩЕНИЯ 219

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В СЕТЯХ СГУЩЕНИЯ 509

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНИВАНИИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ 34

УПРОЩЕННОЕ УРАВНИВАНИЕ ТИПОВЫХ ФИГУР ТРИАНГУЛЯЦИИ 536

УПРОЩЕННОЕ УРАВНИВАНИЕ СЪЕМОЧНЫХ СЕТЕЙ 561

1>₃=Н_Г-~Н₃, »₄=Н₄-Н_Г 597

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 581

предметны! указатель 583

Выражение (58) представляет собой формулу Гаусса для неравно­точных измерений.

Средняя квадратическая погрешность единицы веса, выраженная через уклонения от весового среднего. По аналогии с равноточными измерениями уклонения отдельных результатов 1₍ измерений от весо­вого среднего (общей арифметической середины) X будут являться ве- роятнейшими погрешностями:

и,-/,-*; п₂ = 1₂-Х; ...; =

МЗДЕЛ I. ЗЯЕМЕЯТЫ ТЕ1ЯШ ИГРЕИСТЕ» 13МЕРЕШ

Умножив обе части каждого из этих равенств на соответствующий вес р, имеем

"/Р/ ⁼ — Хр₁и₂р₂=1₂р₂-Хр₂\ и_пр_п=1_пр_п-Хр_п. Сложив эти равенства, получим

[ри] = [р1]-[р]-Х.

Поскольку [р1\ = [р\х , то

[ри] = 0. (59)

При р_{ = р₂ =... = /?„ =1 имеем [и] = 0, т. е. формулу для равноточных измерений.

Для каждого результата ряда неравноточных измерений можно за­писать значения истинных А погрешностей и уклонений их в виде

А = 1-Х И и — I — X,

где X — истинное значение измеренной величины; X — среднее весовое. Вычитая из первого уравнения второе, будем иметь

А — и = Х — Х = Ах**5₀,

где А^ = — истинная погрешность весового среднего X. Отсюда

А = и+з₀.

Составим такие равенства для всех результатов неравноточных из­мерений:

А,=1^+50 с весом р,; Д₂=и₂+50 с весом р₂;

г

^Ап^=ип⁺⁵0 ^{С ВеСОМ} Рп-

Возведем обе части каждого равенства в квадрат, умножим каждый результат на соответствующий вес и, сложив левые и правые части равенств, получим

[М'Н/юЧ + М^М/'К.

где [рц] =0.

Тогда |>Д'] = |>^г]+^ •[/>].

Разделив обе части равенства на число измерений л, получим

ы

— т Л_п

п п п

Согласно выражению (58) = /г², тогда

п

ГЛШ 11ЕМ1Ш1ШЕ ЮМЕРНП

Как и при выводе формулы (34), заменим истинную погрешность среднего весового 5 на среднюю квадратическую погрешность среднего весового М₀, которые можно найти из выражения

^м°-[р\-

Тогда

п п

или /г²п-р² =[ри²~\.

Решая последнее уравнение относительно //, получим формулу Бес- селя для неравноточных измерений

(60)

При ограниченном числе измерений надежность определения по­грешности единицы веса

Средняя квадратическая погрешность весового среднего. Для ряда неравноточных измерений одной и той же величины /₂, /_Л, точ­ность которых характеризуется весами р_г р₂, р_п, найдем вероятней- шее (наиболее надежное) значение X измеряемой величины по фор­муле среднего весового

[р)'1РГ +1РГ [РГ"

Учитывая, что это выражение является линейной функцией, для нахождения средней квадратической погрешности величины X при­меним выражение (23):

т1

/

^"•-(йМйНЧй)

Найдем средние квадратические погрешности из выражения (54)

2_ А²

ГП; —

' Рё

Тогда

I—[р\—

Подставляя в это выражение значение //, найденное по формуле Бесселя, получим

рур i. здешиты там илиста имеуди

/м ,

[р]

= (62)

Если в формуле весового среднего X - принять все веса равными

единице, то получим

П

т. е. формулу среднего арифметического для равноточных измерений.

а

Аналогично, если в формуле М₀ = принять веса равными едини-

у1[Р\

це, получим формулу средней квадратической погрешности среднего арифметического для равноточных измерений

V* '

Следовательно, формулы для равноточных измерений являются част­ными случаями общих формул для неравноточных измерений.

Вес общей арифметической середины. Для нахождения веса общей

арифметической середины (весового среднего) Р_п в выражении р --^г

° ' /я;

примем с = 1 и заменим т. на М₀.

2 ¹ „2 * Тогда =—, а К =у.

Р'1 О

Подставив эти выражения в формулу (23), имеем

тАы\ й) л ■ <⁶³>

Отсюда найдем

^р0=[р]' (64)

т. е. вес весового среднего равен сумме весов результатов неравноточ- ных измерений.

Если вес среднего арифметического Р- —2» ^{а вес} одного измерения

м

р ⁼ —-г, то на основании второго свойства весов т

Р ₌т² р~ М² '

р

Поскольку М² = т²/ п, то - = л,а Р=рл.

Тогда при р = 1 имеем Р = л, т. е. вес среднего арифметического равен числу измерений.

ГЛАВА МЕМ1ШП1ЫЕ ИМЕНИЯ