§ 9. Оценка точности по разностям двойных равноточных измерений

В практике геодезических измерений в целях контроля и повышения точности каждую величину измеряют независимо несколько раз. При этом часто ограничиваются двумя измерениями, поэтому такие измерения называют двойными. Примерами двойных измерений могут служить из­мерения длин линий мерной лентой в прямом и обратном направлениях, измерения углов двумя полуприемами, определение превышений методом геометрического нивелирования по двум сторонам рейки или двумя ниве­лирами одновременно и т. п. Чем точнее выполнены двойные измерения, тем ближе будет сходимость результатов в каждой паре измерений.

Пусть имеем ряд парных равноточных измерений 1[ и /,", 1'₂ и /₂", ..., Г_п и Г„. Разности двойных измерений будут:

<1₂=1'₂-1"₂;

</. =1-1";

п п п'

т, = т. = т = т.

е е е

Если измерения были бы безошибочными, то каждая из этих раз­ностей равнялась бы нулю. Следовательно, истинное значение каждой разности будет равно нулю, а величину с!₍ можно рассматривать как «измеренное значение» этой разности, т. е. й. — 0 = й.. Иными словами, истинные погрешности разностей равны самим разностям

Если И = о, то в соответствии с четвертым свойством случайных по­грешностей измерений разности с*, есть погрешности случайного ха­рактера. Тогда средняя квадратическая погрешность одной такой раз­ности определится по формуле Гаусса как

где л — число всех разностей.

ПШ 2. МШТПМЕ13МЕРЕШ

Погрешность одной разности из двух равноточных измерений

т_й = ту]2,

где т — погрешность отдельного измерения. Отсюда

а²

(46)

2п

_т=™<1 ₌

Г2

М

Если ^ отличается от нуля, то можно предположить, что результа­ты измерений содержат остаточную систематическую погрешность, ко­торую следует исключить из разностей двойных измерений. Средняя систематическая погрешность одной разности

^с п

(47)

Величину 8 необходимо учитывать, если соблюдается неравенство

|М|>0,25[Н].

Исключив из каждой разности двойных измерений систематиче­скую погрешность 8_С, имеем:

где йГ_я — уклонения разностей от их арифметической середины

8_С, следовательно, они являются вероятнейшими погрешностями этих разностей.

Тогда средняя квадратическая погрешность разности двойных из­мерений может быть найдена по формуле Бесселя, т. е.

(48)

т., =

п-1'

(49)

а погрешность отдельного измерения /

\[2 р(п-1)'

(50) 341

Вычисление суммы [сГ²] контролируется по формуле

Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического

значения двойного измерения 1_ср = -у- будет

\[2 2\ п — 1 '

т,

РАЗ ДЕД 1. ЗДЕМЕЯТЫ ТИН! ИИГРЕИИШЕИ ИЗМЕРЕН!

Следует отметить, что разности двойных измерений не отражают полностью влияние всех погрешностей, возникающих при измерени­ях. Так, зачастую двойные измерения выполняют в одинаковых усло­виях (например, при измерениях угла двумя полуприемами, превыше­ния на станции по двум сторонам рейки и т. п.). При этом некоторые погрешности одинаково влияют на каждый результат измерения и исключаются при вычислении разностей <1, по которым производится оценка точности измерений. Поэтому формулы оценки точности по разностям двойных измерений дают преуменьшенные значения сред­них квадратических погрешностей ш.

Пример. Требуется определить средние квадратические погрешно­сти одного превышения и среднего из превышений на станции по дан­ным геометрического нивелирования трассы, выполненного двумя нивелирами (табл. 3).

Таблица 3

Оценка точности по разностям двойных измерений превышений

Номера станций	Превышения, мм		(1, мм	а2	<1' = <1-8с, мм
	Ы	к"
1	+1607,5	+1602,5	+5,0	25,00	+3,6	12,96
2	- 753,0	-750,0	-3,0	9,00	- 4,4	19,36
3	-616,5	-614,0	-2,5	6,25	-3,9	15,21
4	+449,0	+451,0	-2,0	4,00	-3,4	11,56
5	- 374,5	-379,5	+5,0	25,00	+3,6	12,96
6	- 772,0	-774,5	+2,5	6,25	+1,1	1,21
7	- 1344,5	-1348,5	+4,0	16,00	+2,6	6,76
8	+2115,5	+2117,0	-1,5	2,25	-2,9	8,41
9	+842,0	+840,0	+2,0	4,00	+0,6	0,36
10	+627,5	+623,0	4,5	20,25	+3,1	9,61
		X	+14,0	118,00	0,0	98,40

мм;

^с п 10

\[<1}\=14,0>0,25- [И]=#, следовательно, 8_С нужно исключить из значе­ний разностей <2.

/И Г987

т., 3,3

^т^_Т2=Т2⁼²'^ЗММ:т^Т2⁼12⁼¹'^бММ-

Контроль: = 98.4 = 118,0 - 98.4.

НЕРАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ