Раздел 1. Иемеоты тнрии ивгреин8сте1 измерим!

да наглядно характеризуют точность измерений, особенно результатов непосредственных измерений линейных величин, погрешности кото­рых зависят от длин линий. В таких случаях используют понятие отно­сительной погрешности.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к измеренной величине. Она выражается правильной дробью, числитель которой равен единице. Например, если линия дли­ной / измерена с абсолютной средней квадратической погрешностью т_р то относительная погрешность

Г = —= - (10)

^/в™ I 1:т, ЛГ ¹ '

Ниже приведен пример оценки результатов равноточных измерений, т. е. нахождение числовых характеристик точности измерений.

Оценка результатов равноточных измерений

Пример. Длина линии измерена рулеткой 4 раза (табл. 1). Из измере­ний этой же линии высокоточным светодальномером известна истинная (действительная) длина линии 1= 181,246 м. Требуется найти среднюю квадратическую погрешность одного измерения т_}, предельную погреш­ность А_пред, относительную среднюю квадратическую погрешность из­мерений /_ояш и погрешность средней квадратической погрешности т_т.

Таблица 1

№	Результаты	Погрешности
измерений	измерений /, м	измерений А, см	А2,-
1	181,28	+ 3,4	11,56
2	181,22	-2,6	6,76
3	181,30	+ 5,4	29,16
4	181,23	-1,6	2,56

[А²] = 50,04

/[Д⁷] 150,04 _{9 е} ,

^тпред ~ т - т — Зт — 12 см;

т 4 т. 0,04м 1

= = = 1,4 см; =

т _ 4 у[2п ~~ у]2-4 '

§ 5. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин

В геодезической практике часто значения искомых величин (напри­мер, координат точек, превышений и т. п.) находят по результатам не­посредственных измерений углов, линий и др. Очевидно, что если не­посредственные измерения (аргументы) сопровождаются случайными погрешностями, то и результаты косвенных измерений как функции этих аргументов будут иметь погрешности. При этом величина средней 328 квадратической погрешности функции измеренных величин зависит не

ГШ г. МИШИНЕ 13УЕИ1И

только от погрешностей аргументов, но и от вида функции, связываю­щей непосредственные измерения с косвенными.

Пусть задана функция общего вида у = / (х_г х₂, ..., х_п), аргументы которой независимо измерены со средними квадратическими погреш­ностями т₁, т₂, ..., т_п.

(И)

Выразим величины функции и аргументов через их истинные зна­чения и погрешности в виде

У + Ау = /(х_х + Ах_р Х₂ + Ах₂, • Х_п +Ах_Л).

Поскольку погрешности Ах_]Г Ах₂, Ах_п малы по сравнению с изме­ренными величинами, то, разложив выражение (11) в ряд Тейлора, мож­но ограничиться при разложении членами, содержащими только пер­вые степени погрешностей, т. е.

(12)

дх,

Э*.

У + Ьу = /{Х„Х₂

д/

где ~ — частные производные функции по аргументам х_г

Переход от соотношения (11) к выражению (12) называется приве­дением функции к линейному виду.

(13)

Поскольку У = /(х₁,Х₂,Х_п), то из уравнения (12) имеем

^д/ л У _А а/ _А

Ау = —• Ах, +—• Ах₂ + ...+—• Ах_п. ЭХу дх^ дх_п

Возведем уравнение (13) в квадрат и разделим на л:

-2-1 • —*- + ...+ 2 \^дх2

\дх, )\дх.

л

(14)

М* Ах/ , ^э/ V Ах/ , , а/V а/) Ах,Ах дх,

дх,)\дх₃) П

Для ряда из к измерений можно получить к аналогичных равенств, просуммировав которые получим

п п п п

(15)

э/.

дх,

К**,) п

Принимая во внимание, что математическое ожидание случайной погрешности равно нулю, то [Дх,.Дх,_+;] = 0; тогда выражение (15) примет вид

(16)

329

\^дх<

_{дх₂

п ^д;_пу) п