Раздел I. Зяемеяты тнрн отеияястей имереий

По сравнению со средней и вероятной погрешностями средняя квад- ратическая погрешность обладает рядом преимуществ:

1. при вычислениях не нужно учитывать знаки отдельных погреш­ностей А;

2. средняя квадратическая погрешность чувствительна к большим по величине погрешностям и достаточно надежно определяется даже при небольшом числе измерений п > 10;

3. средняя квадратическая погрешность т является оценкой теоре­тической характеристики среднего квадратического отклонения з и входит в функцию плотности нормального распределения, которая может быть представлена в виде

ДД) = -

гпу!2Л

-2»,²

-•е

(5)

(6)

Уравнение (5) часто записывают в виде

4л

Л -_А2_Л2

ДД)=

1

к = ■

где

1У[2

— мера точности.

Плотность нормального распределения погрешности, описываемая выражением (6), называется уравнением погрешностей или кривой Гаусса.

Кривая погрешностей, представленная графически на рис. 1, обла­дает следующими свойствами.

1. Ордината у = /(А) при любых значениях А не принимает отрица­тельных значений и не обращается в нуль, т. е. у > 0.

2. Кривая погрешностей симметрична относительно оси Оу, так как значения ординат для одинаковых по абсолютной величине положи­тельных и отрицательных А равны.

3. При А = 0 ордината у принимает максимальное значение, равное

И

у[л '

4. Кривая погрешностей имеет две точки перегиба (слева и справа от оси Оу) при |А| = т .

№

У\	IV
// 1	1
Г^У 1	—1—.

5. Касательные к кривой в точ­ках перегиба пересекаются с осью

абсцисс в точках |А| = 2/и.

-Зш -2т -т 0 т 2т Зт Рис. 1. Кривая нормального распределе- бесконечную совокупность Дан­иил случайных погрешностей ного вида измерений, а погреш-

Принципиальное отличие сред­ней квадратической погрешно­сти т от среднего квадратическо­го отклонения <т состоит в том, что сг — постоянная теоретиче­ская величина, характеризующая

ми 1. шише шш

ность т является величиной эмпирической, получаемой при ограниченном числе испытаний. С увеличением числа испытаний а. Следовательно, средняя квадратическая погрешность т является оценкой (приближенным значением) неизвестного среднего квадратического отклонения а.

Поскольку ряд измерений, из которого находится средняя квадра­тическая погрешность т, является конечным, значение самой этой погрешности определится с некоторой погрешностью

т_я=-2-. (7)

Величина ш_т является оценкой точности определения средней квад- ратической погрешности /п.

При большом числе измерений существуют устойчивые зависимо­сти между рассмотренными критериями точности:

т = 1.23Л; ⁽⁸⁾

т = 1,48г. (9)

Наряду со средней квадратической погрешностью другой важной ха­рактеристикой точности измерений является предельная погрешность, т. е. такое значение случайной погрешности, появление которого при данных условиях измерений маловероятно. Из анализа нормального распределения случайной погрешности (см. рис. 1) следует, что случай­ная погрешность измерения может превысить среднюю квадратиче- скую примерно в 32 случаях из 100, удвоенную среднюю квадратиче- скую погрешность — в 5 случаях из 100, утроенную — в 3 случаях из 1000. Следовательно, достаточно маловероятно, что случайная погреш­ность измерения превысит утроенную среднюю квадратическую. По­этому при топографо-геодезических работах за предельную допустимую величину погрешности обычно принимают утроенную среднюю квад­ратическую погрешность, т. е.

^тп_Ре_д=^3т'

При выполнении ответственных измерений предельную допустимую погрешность ограничивают величиной

Величины предельных допустимых погрешностей приводятся в инст­рукциях по производству геодезических измерений и служат критериями для отбраковки результатов измерений, имеющих погрешности более допустимых. Такие погрешности считают грубыми, и соответствующие измерения должны быть выполнены заново.

По форме числового выражения все погрешности разделяют на абсолютные и относительные.

Абсолютные (средние, средние квадратические, вероятные и пре­дельные) погрешности выражаются в тех же единицах, что и измеряе­мые величины; обычно они используются для оценки точности изме­рений, не зависящих от значения измеряемой величины (например, от величины измеряемого утла). Однако абсолютные погрешности не всег-