Глава 2

РАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

§ 3. Свойства случайных погрешностей равноточных измерений

Как уже отмечалось ранее, к равноточным относятся измерения, выполняемые при неизменном комплексе условий. Однако, несмотря на постоянство основного комплекса условий, результаты многократных измерений величины всегда более или менее разнятся один от другого, т. е. они испытывают случайное рассеивание. Варьирование результатов наблюдений объясняется тем, что на процесс измерений влияют много­численные факторы, учесть которые не представляется возможным либо целесообразным. Например, при угловых измерениях к числу таких фак­торов относятся случайные вибрации и деформации теодолита, неучи­тываемые изменения физических условий наблюдений (температуры, давления, влажности, оптических и электромагнитных свойств атмосфе­ры), физиологических изменений органов чувств наблюдателя и т.д.

Пусть имеется ряд равноточных измерений 1_{, /₂, ..., /_Л, в каждом из которых присутствуют случайные погрешности А_/г Д₂, ..., Д_Л. Как пока­зывает опыт обработки результатов геодезических наблюдений, случай­ные погрешности равноточных измерений обладают рядом свойств, которые проявляются в достаточно большом ряде измерений.

1. Свойство ограниченности — по абсолютной величине погрешно­сти не превосходят некоторого предела.

2. Свойство симметричности — положительные и отрицательные погрешности, равные по абсолютной величине, встречаются в ряду измерений одинаково часто.

3. Свойство унимодальности — погрешности, большие по абсолют­ной величине, встречаются в ряду измерений реже, чем погрешности меньшие.

4. 

   п

   п

   324 где [ ] — знак суммы, введенный Гауссом.

   Свойство компенсации — среднее арифметическое из значений случайных погрешностей при неограниченном возрастании ряда изме­рений стремится к нулю, т. е.

г1ш 2. мжтшые измерен!

Ряд случайных погрешностей равноточных измерений А_}, Д₂, А_п можно рассматривать как реализации (значения) одной и той же слу­чайной величины А.

Как известно, случайная величина (т. е. совокупность всех ее значе­ний) полностью характеризуется законом ее распределения, который дает связь между значениями случайной величины (реализациями) и соответствующими им вероятностями.

Проведенные многими учеными исследования случайных погреш­ностей равноточных измерений методами математической статистики показывают, что большинство случайных погрешностей (как и большин­ство случайных величин) подчиняются нормальному закону распреде­ления (закону К.Ф. Гаусса). Математическое ожидание случайной по­грешности является теоретическим средним значением случайной величины А и равно нулю. Это свойство случайных погрешностей по­ложено в основу теории погрешностей измерений.

§ 4. Критерии точности результатов равноточных измерений

Общее представление о точности измерений можно получить по рассеиванию результатов измерений; чем больше различаются между собой результаты, тем ниже точность измерений. Критериями точно­сти, т. е. количественными характеристиками точности результатов измерений, служат математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, оценками которых могут служить средняя, вероятная и средняя квадратическая погрешности.

Средней погрешностью называется среднее арифметическое из абсолютных величин случайных погрешностей:

(3)

п

Необходимо отметить, что средняя погрешность сглаживает влия­ние больших по абсолютной величине погрешностей, т. е. точность из­мерений оказывается несколько преувеличенной.

Вероятной погрешностью г называется величина, больше и меньше которой по абсолютной величине погрешности в ряду измерений рав- новозможны. Иными словами, вероятная погрешность делит попо­лам ряд случайных погрешностей, расположенных в порядке возраста­ния их абсолютных значений.

Основным критерием точности измерений является средняя квад­ратическая погрешность, определяемая по формуле Гаусса

(4)

Формулу (4) применяют в случаях, когда известно истинное (действи­тельное) значение измеряемой величины. Обычно в качестве действи­тельного значения принимают результат измерений величины более точным прибором или методом, обеспечивающим точность измерений в 3 — 5 раз выше по сравнению с используемым прибором (методом).