Раздел 2. Сопротивление материалов

§2. Растяжение-сжатие Построение эпюр продольных сил и нормальных напряжений. Продольные и поперечные деформации.

Пример №1. Двухступенчатый стальной брус нагружен силами F1=30 кН F2=40 кН. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить перемещение ∆l свободного конца бруса, приняв Е=2∙10⁵ МПа. Площади поперечных сечений А₁=1,5см²; А₂ =2см².

Рис.1

Решение задачи:

1. Разбить брус на участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, а для напряжений также и место изменения размеров поперечного сечения.

Определить по методу сечений продольную силу для каждого участка (ординаты эпюры Nz) и построить эпюры продольных сил Nz. Проведя параллельно оси бруса базовую (нулевую) линию эпюры, отложить перпендикулярно ей в произвольном масштабе получаемые значения ординат. Через концы ординат провести линии, проставить знаки и заштриховать эпюру линиями, параллельными ординатам.

Для построения эпюры нормальных напряжений определяем напряжения в поперечных сечениях каждого из участков. В пределах каждого участка напряжения постоянные, т.е. эпюра на данном участке изображается прямой, параллельной оси бруса.

Перемещение свободного конца бруса определяем как сумму удлинений (укорочений) участков бруса, вычисленных по формуле Гука.

2. Разбиваем брус на участки.

Определяем ординаты эпюры N на участках бруса:

Nz₁= - F1= -30кН

Nz₂= - F2= -30кН

Nz₃= -F1+F2= -30+40=10 кН

Строим эпюру продольных сил

3. Вычисляем ординаты эпюры нормальных напряжений

σ_z1 = = = –200МПа

σ_z2 = = = –150МПа

σ_z3= = = 50МПа

Строим эпюры нормальных напряжений.

4. Определяем перемещение свободного конца бруса

∆l=∆l₁+∆l₂+∆l₃

∆l₁= = = – 0,5мм

∆l₂= = = – 0,225мм

∆l₃= = = 0,05мм

∆l = - 0,5 – 0,225 + 0,05 = – 0,675мм

Брус укоротился на 0,675мм

Пример 2. Определить допускаемую нагрузку [F] для системы из двух стержней, изготовленных из дюралюминиевых труб одинакового поперечного сечения (рис.2, а). Допускаемое напряжение принять = 100 МПа.  

                                                                            Рис.2

Решение.

Используя метод сечений, вырезаем узел В и из уравнений равновесия сил

;   ;

;  

находим неизвестные продольные силы, возникающие в стержнях, через нагрузку F (рис.2, б)

N₁=0,732F; N₂=0,518F

Допускаемую нагрузку [F] определяем из условия прочности наиболее нагруженного стержня 1: 

Следует отметить, что стержень 2 недогружен. Напряжение в нем

что примерно на 30% ниже допускаемого. Для стержня 2 можно использовать трубу меньшего поперечного стержня.

 

Задания для самостоятельной работы.

Задача1. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений и определить абсолютное удлинение для стальных стержней, показанных на рис. 1 Модуль упругости материала стержня Е=2·10⁵ МПа

Рис. 1

Задача 2. К каждому из трех вертикальных стержней одинаковой площади поперечного сечения, но разной длины и разных материалов подвешены равные грузы. Будут ли одинаковы напряжения в стержнях?

Задача 3. Стальной и дюралюминиевый стержни одинаковых размеров подвешены вертикально и соединены внизу горизонтальной балкой. В каком стержне возникнут большие напряжения, если к середине балки приложить груз? Сохранится ли горизонтальность балки?

Задача 4. К медному стержню диаметром d=10 мм подвешен груз массой 400 кг. Определить напряжение абсолютное и относительное удлинение стержня, если его длина l= 2м. Модуль упругости меди 10⁵ МПа.

Задача 5. Винипластовый стержень диаметром d= 36 мм и длиной l=1,5 м растягивается силой F=8 кН. Определить напряжение и абсолютное удлинение стержня, если модуль упругости винипласта Е=4·10³ МПа

Задача 6. К стержням АВ и ВС подвешен груз массой 4000 кг. Проверить прочность стержней, если они изготовлены из стали Ст. 3 с пределом текучести σ_т=240 МПа. Нормативный коэффициент запаса по пределу текучести [n_т]=1,5

Рис. 1