2.5. Потенциальная энергия деформации при кручении

При кручении внешние скручивающие моменты совершают работу на угловых перемещениях сечений, к которым эти моменты приложены. В случае статического нагружения, если пренебречь незначительными потерями энергии, можно считать, что работа внешних моментов полностью затрачивается на деформирование вала.

В пределах закона Гука эта работа равна:

, (2.31)

где М_j – внешний скручивающий момент, приложенный к j-сечению бруса;

- угол поворота j сечения;

к – число внешних моментов.

Потенциальная энергия деформации численно равна работе внешним моментов, т.е.

U . (2.32)

С другой стороны, потенциальная энергия может быть выражена через крутящие моменты по формуле:

U , (2.33)

где М_kpi – крутящий момент в сечении, постоянный в пределах i-го участка;

l_i – длина этого участка;

J_ki – момент инерции сечения при кручении i-го участка;

n – количество участков.

Выражения (2.32) и (2.33) можно использовать для энергетической проверки правильности решения задачи по определению крутящих моментов и углов закручивания.

Очевидно, что результаты, полученные по этим формулам должны совпадать.

2.6. Расчеты на прочность и жесткость при кручении

Расчеты на прочность при кручении проводятся по допускаемым напряжениям на основе следующего условия прочности:

. (2.34)

Здесь - наибольшее расчетное касательное напряжение в опасном сечении вала.

Если сечения по длине вала не меняются, то опасными будут сечения на участке вала, где крутящий момент М_к максимален (определяется по эпюре М_к).

Для вала с различными сечениями по длине кроме эпюры крутящих моментов, вдоль оси строится эпюра наибольших напряжений, по которой определяется опасное сечение.

W_к – момент сопротивления сечения при кручении.

Для круглого и кольцевого сечений :

W_k = W_{p –} полярный момент сопротивления (см.2.15; 2.17).

Допускаемое напряжение при кручении ориентировочно принимают:

для сталей [ ,

для чугунов ,

где - допускаемое напряжение при растяжении.

Условие прочности позволяет решать три типа задач:

1. По известным внешним скручивающим моментам и размерам вала проверяется его прочность, делается поверочный расчет на прочность;

2. Подбор сечений (проектировочный расчет). Расчет ведется по формуле, получаемой из условия прочности (2.34):

. (2.35)

3. Определение грузоподьемности (определение допускаемых крутящих моментов). Расчетная формула имеет вид:

. (2.36)

При расчете на жесткость вала ограничение может быть наложено на величину относительного угла закручивания или полного угла закручивания .

В соответствии с этими требованиями, условие жесткости может быть записано в виде:

, (2.37)

или . (2.38) Здесь и - максимальные относительный и полный углы закручивания, для определения этих значений в сложных случаях необходимо строить эпюры или ;

G – модуль сдвига;

J_к – момент инерции сечения вала при кручении (см. параграфы 2.3 и 2.4).

Для круглого и кольцевого сечений:

J_К = J_р ,

где J_р – полярный момент инерции (см.формулы 2.14 и 2.16);

и - допускаемые значения относительного и полного углов заручивания..

Расчет на жесткость так же как и расчет на прочность может быть в зависимости от условий задачи поверочным, проектировочным или по определению грузоподьемности вала.

Пример 2.1. Стальной вал круглого поперечного сечения передает крутящий момент М_к = 20 кНм. Определить диаметр вала, если допускаемое напряжение допускаемый относительный угол закручивания на один метр длины вала.

Решение.

Из условия прочности вала

находим полярный момент сопротивления

.

Полярный момент сопротивления выражается через диаметр по формуле: ,

отсюда находим

Из условия жесткости вала: ,

где

– полярный момент инерции сечения вала;

G = 0,8 10¹¹ Па – модуль сдвига стали,

;

находим

= ,

.

Из двух найденных значений диаметра вала выбираем большее, т.е. d = 13см.

Ответ: .

Пример 2.2. Стальной вал передает мощность N = 50 кВт при частоте вращения n=200 об/мин. Подобрать сечение вала для случая сплошного сечения и кольцевого с отношением диаметров:

α= d / D = 0.8,

где d и D – внутренний и наружный диаметр сечения, если допускаемое напряжение [ ] = 80 мПа.

Решение.

Найдем крутящий момент передаваемый валом ,

где - угловая скорость вала.

Крутящий момент равен

Из условия прочности

найдем полярный момент сопротивления сечения вала .

Для сплошного круглого сечения

, отсюда

Для кольцевого сечения

отсюда = 6,4 см,

.

Сравним площади сплошного и кольцевого сечений, что определяет расход металла:

для сплошного сечения

для кольцевого сечения .

Таким образом, применение кольцевого сечения с отношением диаметров d/D= 0,8 вместо сплошного дает экономию металла примерно в два раза.

Пример 2.3. Стальной составной брус нагружен сосредоточенными скручивающими моментами (рис.2.16). Определить из расчетов на прочность и жесткость допустимые значения моментов М.

Принять а = 0,5м, b = 10см, d =5 см.

Модуль сдвига G=0.8 10¹¹ Па, допускаемое напряжение [ ] = 90 МПа,

допускаемый относительный угол закручивания

[ ] = 0,01 рад/м.

Рис.2.16

Решение.

Решение задачи начинаем с определения внутренних силовых факторов (крутящих моментов). Заметим, что в данном случае для определения крутящего момента в сечении проще рассматривать часть бруса справа от сечения, что позволяет не определять реактивный момент в заделке.

В соответствии с правилом, изложенным в параграфе 2.1 находим:

в сечении 1-1 М_1к =М,

в сечении 2-2 М_2к = 2М.

Эпюра М_к построенная по полученным данным, показана на рис.2.16, б.

Выразим касательные напряжения через М_к.

Первый участок: ,

где W_p – полярный момент сопротивления.

Для круглого сечения на этом участке:

.

Второй участок:

где W_к – момент сопротивления сечения при кручении.

Для квадратного сечения:

W_к = 0,208 b³ = 0,208 10³ см³ = 2,08 10^-4 м³.

Подставив значения W_p и W_к в выражения для на первом и втором участках получим:

на 1-м участке = 4,08 10⁴ М( Па),

на 2-м участке (Па).

Как видно из сравнения полученных результатов, опасными являются сечения на 1-ом участке, где касательные напряжения максимальны.

Условие прочности для этих сечений имеет вид:

.

Из условия прочности находим допустимое значение момента М :

.

Проведем расчет на жесткость.

Относительный угол закручивания на 1-м участке :

,

где J_p – полярный момент сечения

,

,

на 2-ом участке

,

где J_к - момент инерции сечения при кручении, который для квадратного сечения равен

J_к = 0,141 b⁴ = 0,141 10⁴ см⁴ = 0,141 10^-4 м⁴ ,

Таким образом, _max = ₁ = 0.2 10^-4

Условие жесткости имеет вид

.

Из условия жесткости находим:

.

Из двух значений М, полученных из расчета на прочность и из расчета на жесткость, принимаем меньшее значение, т.е.

[М] = 0,5 кН м.