Практическая работа № 10. Определение полноты системы булевых функций.

1 Цель работы

Научиться:

- определять принадлежность функции основным классам;

- применять теорему Поста для определения полноты системы булевых функций.

2Теоретическая часть 

Функция , полином Жегалкина которой имеет вид , принадлежит классу линейных функций L: . Если для двух кортежей длины n из нулей и единиц и выполнены условия , …, , то говорят, что . При невыполнении этих условий кортежи и несравнимы. Кортежи разной длины не сравнивают.

Функция называется монотонной, если для всех корежей и из условия следует, что , монотонная функция принадлежит классу монотонных функций M: .

Функция принадлежит классу функций, сохраняющих константу 0, если : .

Функция принадлежит классу функций, сохраняющих константу 1 если : .

Функция принадлежит классу самодвойственных функций, если для всех кортежей выполняется условие : .

Система булевых функций называется полной, если любая булева функция является суперпозицией ((композицией) функций этой системы. Теорема Поста: система булевых функций является полной, если она целиком не принадлежит ни одному классу , , , , .

3 Практическая часть

Задача 3.1 Определите полноту системы функций , .

Решение. Определим принадлежность функций каждому классу , , , , .

Построим таблицы истинности

x	y
0	0	0	0
0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	1	0

, значит, ; , значит, ; , значит, ; , значит, ;

(0,0)	(1,1)	0	1	1
(0,1)	(1,0)	1	1	0

.

Аналогично, проводим исследование . Результаты удобно занести в таблицу

	-	+	-	+	+
	+	-	-	+	-

Из таблицы видно, что система целиком не принадлежит одному классу, по теореме Поста эта система функций является полной.

4 Практическое задание

4.1 Определить полноту системы функций.

Вариант 1 а) , =0, = ; б) , =1, =	Вариант 2 а) , =1, =х; б) , =0, =
Вариант 3 а) , =y, = ; б) , =0, =	Вариант 4 а) , = , = б) , =1, =

5 Контрольные вопросы

1) Дайте определение полной системы функций.

2) Дайте определение линейной функции.

3) Дайте определение монотонной функции.

4) Дайте определение самодвойственной функции.

5) Дайте определение функции, сохраняющей константу 0.

6) Дайте определение функции, сохраняющей константу 1.

7) Сформулируйте теорему Поста.