2.1.2. Квантование и дискретизация сигналов
2.1.2, а. Теорема Котельникова - выбор частоты дискретизации
2.1.2, б. Квантование - выбор шага
Для того чтобы направить в цифровой процессор последовательность чисел, соответствующих отсчетам непрерывного сигнала, его предварительно дискретизируют и квантуют.
Дискретизация - преобразование непрерывного сигнала в последовательность коротких импульсов, с амплитудой (или шире, с другим параметром, например площадью или шириной импульса), равной значению сигнала в моменты стробирования, т.е. появления импульсов. Качество представления непрерывного сигнала амплитудным дискретным определяется частотой стробирования непрерывного сигнала: чем выше частота, тем выше качество, но и импульсы должны быть все короче.
Квантование (представление в виде целого числа "кусочков", квантов) - приближенная замена величины каждого импульса из последовательности, полученной в результате дискретизации непрерывного сигнала, целым числом шагов квантования, часто представляемом в двоичной форме. Качество представления непрерывного сигнала квантованным определяется шагом квантования. Чем он меньше, тем качество выше, но число разрядов числа становится больше.
Т.о. в результате дискретизации и квантования получается временная последовательность двоичных чисел, которые и передаются в процессор компьютера, программно реализующий алгоритм управления, например ПИ, ПИД или др. Осуществляет квантование и дискретизацию специальное устройство - АЦП (аналогово-цифровой преобразователь).
Рис. 2.3. Квантование и дискретизация непрерывного сигнала сопровождается ошибками, зависящими от частоты дискретизации и шага квантования
Рис. 2.4. АЦП заменяет непрерывный сигнал последовательностью во времени его числовых отсчетов, представленных в двоичной форме
Для обеспечения достаточной точности замены непрерывного сигнала последовательностью его числовых отсчетов, т.е. минимизации ошибок, обусловленных квантованием и дискретизацией, необходимо выбрать достаточно высокую частоту дискретизации и достаточно малый шаг квантования уровня. С другой стороны, эти величины не должны быть чрезмерно большой и малым соответственно, иначе отсчеты будет трудно передавать по линиям связи и может даже не хватить быстродействия АЦП и мощности процессора для их обработки в реальном времени.
2.1.2, А. Теорема Котельникова - выбор частоты дискретизации
Теорема Котельникова В.А. (1933 г., К. Шеннон 1949 г.) определяет минимальную частоту следования отсчетов непрерывного сигнала, спектр которого ограничен частотой fв, при которой в принципе возможно восстановление сигнала по отсчетам абсолютно точно:
(2.1)
Рис. 2.5 (анимация, 2 кадра). Дискретизация с частотой Котельникова и выше позволяет восстановить непрерывный сигнал точно, а с частотой меньшей - не позволяет: представьте мысленно огибающие дискрет
Рис.2.6. Спектр последовательности единичных импульсов (красные дискреты), модулированных непрерывными сигналами. Сравнительно медленно изменяющиеся, а значит и сравнительно узкополосные дискретизированные непрерывные сигналы имеют не перекрывающиеся спектры (синие линии) и могут быть точно восстановлены с помощью фильтра-фиксатора. Спектры более быстро изменяющихся сигналов (голубые линии) накладываются, интерферируют, что не позволяет восстановить точно исходный непрерывный сигнал. Частота дискретизации должна быть не менее, чем вдвое больше ширины спектра непрерывного сигнала
При сравнительно низкой частоте дискретизации, определяемой теоремой Котельникова, трудно технически восстанавливать сигнал: требуется фильтр с переходной функцией вида (sin x)/x, реализуемый приближенно и только с запаздыванием.
Однако если есть возможность, а она зачастую есть, то частоту дискретизации можно увеличить на порядок или больше и тогда восстановление непрерывного сигнала упрощается, поскольку можно использовать достаточно простой фильтр, сохраняющий значение величины дискреты до появления следующей:
Рис. 2.7. Восстановление (розовая линия) исходного сигнала (синяя линия) по его дискретным значениям (салатные линии) с помощью фильтра-фиксатора. Домножение импульсов генератора на величину, обратную шагу интегрирования (нормирование) сделано для того, чтобы площадь стробирующего импульса (интеграл от него по времени) была равна 1. Хотя восстановленный сигнал похож на квантованный (см. верхнюю осциллограмму рис. 2.3), но в данном случае он таковым не является, поскольку фиксатор запоминает на период следования тактовых импульсов значение площади дискреты, а она в данном случае может быть любой, а не только кратной некоторому значению (шагу квантования)
Дискретизатор стробирует импульсом единичной площади непрерывный сигнал. Для наглядности, на рис. 2.7 показан результат умножения непрерывного сигнала на импульс единичной амплитуды.
Фиксатор сохраняет значение площади на время промежутка между дискретами.
В виртуальной модели рис. 2.7 модельное время рассматривается как непрерывное, как оно собственно и воспринимается исследователем. Для правильной работы модели в данном случае необходимо применить метод интегрирования Эйлера.
Итак, непрерывный сигнал может быть восстановлен по его дискретным периодическим отсчетам. Если частота дискретизации много больше частоты Котельникова, то восстановление сигнала осуществляется довольно просто: сохранением значения дискреты до прихода следующей. В качестве альтернативного решения можно просто подать импульсную последовательность на фильтр нижних частот (ФНЧ) с соответствующим коэффициентом усиления.
Примечание. Фиксатор, как инструмент восстановления непрерывного сигнала может рассматриваться как экстраполятор (или, если угодно, интерполятор) нулевого порядка. Существуют экстраполяторы и более высоких порядков, например, экстраполятор первого порядка соединяет прямыми линиями концы дискрет, что, естественно значительно уменьшает ошибку восстановления, а значит, позволяет уменьшить частоту дискретизации.