Математика

«Числа правят миром», - так можно сформулировать тезис древнегреческих математиков (считается, что его сформулировал Пифагор). Греки проверили справедливость этого тезиса во многих областях. Они изобрели метод дедукции, являющийся одним из столпов, на которых базируется математики. С помощью этого метода можно из известных истин выводить новые. Математическая модель древних греков обладала неоспоримой силой. Рассмотрим, как развивалась математика в Древней Греции.

Как и в астрономии одним из первых ученых в этой области был Фалес Милетский. Он доказал 5 основных теорем, одна из которых носит его имя. Также, он изобрел методы определения расстояния от берега до корабля и измерения высоты зданий. По легенде Фалес, будучи в Египте, поразил фараона Амасиса тем, что сумел точно определить высоту пирамиды. Он дождался, когда длина тени от палки станет равной ее высоте и тогда измерил длину тени пирамиды.

Конечно же одним из первых был и знаменитый Пифагор. Он основал школу, которая в дальнейшем создала многих великих ученых. Многие предполагают, что почти все приписываемые ученому достижения на самом деле являются достижениями его учеников. Скорее всего это объясняется тем, что после смерти Пифагора, как и во время его жизни, ученики сами приписывали свои открытия Пифагору. Даже по поводу знаменитой теоремы, носящей его имя, существуют споры. И здесь тоже многие историки считают, что Пифагор не доказывал никакой теоремы, а лишь передал знание ее из Вавилона, известной там еще за 1000 лет до него. Тем не менее, нас интересует не личность Пифагора и не конкретно его изобретения, а то, какой вклад он внес в развитие математики и науки в Древней Греции. А вклад его был очень большим. Уже создание школы пифагорейцев — основной движущей силы математики Древней Греции, если не сказать всего античного мира, является большой его заслугой. Самые важные их достижения - создание аксиоматического метода, метода дедукции и гармоники (теории музыки). И еще одно из важных открытий, приписываемых Пифагору — открытие и нахождение числа пи.

Евдокс Книдский тоже внес большой вклад в математику. Он ввел понятие иррациональных чисел, широкое понятие геометрической величины — отношение двух однородных величин — исследуемой и единичного эталона, аксиоматику для сравнения величин и вывел 5 основных математических свойств. Он создал теорему, являющейся зародком теоремы Дедекинда — тоже одной из образующих теорем арифметики.

Теэтет Афинский, ученик Феодора Киренского (которого можно назвать одним из основоположников наряду с Фалесом и Пифагором) доказал теорему о несоизмеримости чисел, дошедшую до нас в изложении Евклида, и ,что если квадратный корень не извлекается из числа нацело, то он иррационален. Он решил одну из главных проблем своего времени, т. к. несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной противоречила многим принципам.

Знаменитый метод решения геометрических задач на построение с помощью циркуля и линейки придумал Эпонид Хиосский.

Немаловажную роль сыграл и Демокрит. Он первым установил, что объем пирамиды и конуса равен 1/3 объема призмы и цилиндра той же высоты и той же площади основания. Это одно из важных открытий в области геометрии.

Евдокс Книдский придумал метод для вычисления площади и объемов сложных фигур, заключающийся в следующем: в фигуру сложной формы вписывают последовательность фигур и, как доказал Евдокс, сумма их площадей (объемов) приблизительно равна площади (объему) искомой фигуры. С помощью этого метода доказал уже известные в те годы формулы площади круга, объемов пирамиды и конуса (вычисленные Демокритом). Чуть позже этот метод был усовершенствован Архимедом.

Аполлоний Пергский сделал одно из великих открытий. Его монография «Конические сечения» (8 книг) - одно из основных творений древнегреческих математиков — в которой он дал содержательные теории эллипса, параболы и гиперболы. Именно Аполлоний и предложил эти названия. До него их называли просто сечениями конуса. Ввел одни из основных понятий — ассимптота, абсцисса, ордината, аппликата. При создании «Конических сечений» Аполлоний много взял из трудов других математиков и, проанализировав все тщательным образом, пришел к своему открытию. Материалом для его исследований были: 4 книги Евклида про конические сечения, открытия эллипса, параболы и гиперболы Менеклом, учеником самого Аполлония, исследования конических сечений Кононом Самосскими и труды других ученых. Позже, монография Аполлония была доработана и прокомментирована Евтокием Аскалонским.

Теэтет Афинский тоже внес вклад в геометрию. Он доказал, что существует 5 и только 5 правильных многогранников. До этого были известны только 3, а икосаэдр и октаэдр Теэтет ввел сам.

Герон Александрийский составил формулы площади треугольника, носящей его имя, объема правильной многогранной пирамиды, конуса, тора, шарового сегмента.

Подвел итог этой главе в геометрии не кто иной как великий Архимед. Он значительно развил учения Аполлония о конических сечениях. Нашел общий метод вычисления площадей и объемов фигур. Лучшим своим достижением считал определение поверхности и объема шара — задача, которую никто до него не мог решить.

Еще одно из важных открытий сделал Гиппий Элидский. Прокл Диадох говорит, что Гиппий придумал квадратису — кривую, с помощью которой можно было делить произвольный угол в произвольном отношении.

Знаменитым геометром считался и Зенодор, составивший трактат, в котором он доказал 14 важных теорем «Об изопараметрических фигурах». К сожалению, его сочинения были утеряны.

Конечно, и Аристарх внес свою лепту в математику. Именно он считается одним из основоположников тригонометрии. В сочинении «О размерах Солнца и Луны» Аристарх доказывает одно из основных тригонометрических неравенств. Его труды часто цитировались Архимедом.

Решение еще одной из важных проблем приписывается Леонту. Он исследовал ограничения, когда искомая задача может быть разрешена и когда не может.

Динострат впервые сформулировал первый замечательный предел в математике, основываясь на знаниях арифметики и тригонометрии.

Герон также сформировал алгоритмы решения квадратных и кубических уравнений.

Также как и в астрономии, по математике было написано множество трактатов и сочинений. Первым дошедшими до наших дней были свод геометрический знаний Гиппократа Хиосского и теоретический трактат по математике «Начала» (13 книг) Евклида о планиметрии, стереометрии и теории чисел. Можно сказать, что Евклид подвел итог предшествующему развитию и создал фундамент для дальнейшего развития математики. Он также как и Аполлоний анализировал и исправлял ошибки своих предшественников — Леонта, Февдия из Магнесии и других.

Гемин составил обширный трактат, где разделил ее на мыслимую и чувственную. К первой части он относил геометрию и арифметику, а второй — механику, астрономию, геодезию, канонику и логистику. По сути, вторая часть — это другие области наук, которые тесно связаны с математикой, там Гемин показывает, особенности математических формул и преобразований в этих науках.

Диофант составил глобальное сочинение «Арифметика» в 13 книгах.

Папп Александрийский написал знаменитый трактат «Математическое собрание», не дошедшие до нас полностью — учебное руководство по геометрии с комментариями, справками и улучшениями в существующих теоремах.

Филипп Опунтский (Мендийский) написал сочинения «О многоугольных числах», «об арифметике» и другие.

Есть ученые, сочинения которых не сохранились, как и сведения о них, например, Персей.

И в заключение об одном интересном изобретении древнегреческих философов — гармонике. Первым предложил исследовать математические основы музыки Филолай, ученик Пифагора. А начал их исследовать Гиппас из Метопонта. Как уже было сказано, гармоника изучалась и развивалась в основном в пифагорейской школе. Итог этому развитию можно приписать Теону Смирнскому. Он создал учение о декаде (десятке) и четверице. Четверица — это четыре первых числа — 1, 2, 3, 4, в сумме они дают 10, т. е. декаду. В четверице обнаруживаются основные музыкальные созвучия, также пифагорейцы считали, что в четверице заключается природа целого: 1 — точка, 2 — прямая, 3 — плоскость, 4 — тело (целое). Этот вывод показывает всю глубину и силу мышления древних греков, насколько твердо они были уверены в том, что все подчиняется математическим законам и правилам — даже музыка, которая составляет чувственное восприятие, может быть описана с помощью математики.