Системы массового обслуживания с ожиданием.
Если
все каналы обслуживания заняты, заявка,
поступившая в систему, становится в
очередь. Если время пребывания в очереди
и число мест в очереди неограниченно,
то такая система называется чистой
системой с ожиданием.
Предельный стационарный режим при
существует, если
,
то есть “мощность” системы достаточна
для обслуживания данного потока заявок.
В случае
очередь будет неограниченно расти и
предельного стационарного режима не
существует. Кроме числовых характеристик,
аналогичных характеристикам СМО с
отказом, система с ожиданием обладает
специфическими характеристиками,
связанными с наличием очереди: средняя
длина очереди, вероятность наличия
очереди, среднее время пребывания заявки
в очереди и некоторыми другими.
Предельные вероятности состояний системы (при условии существования стационарного режима работы) определяются по формулам:
1) В случае отсутствия очереди
=
,
где
.
2) В случае наличия очереди
=
,
где s –
длина очереди, s=1,2,3,….
Среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется по формуле:
=
.
Для
СМО с ожиданием
=1.
Среднее число занятых каналов
=
=
.
Система имеет бесконечное число
состояний,
=1.
Среднее время ожидания заявки в очереди
=
.
Задача. Рассматривается работа таможенного пропускного пункта автомобилей на границе. Пункт имеет 3 поста. В среднем каждые 3 минуты к границе подъезжает автомобиль. За 1 час каждый пост, в среднем, может проверить и пропустить 10 автомобилей. Число мест в очереди и время пребывания в очереди практически не ограничено. Определить, существует ли стационарный режим работы пропускного пункта. Если да, то найти:
1) вероятности состояний системы
,
;
2)
вероятность наличия очереди
;
3)
среднюю длину очереди
;
4) среднее число занятых каналов (постов) ;
5)
вероятность занятости канала (поста)
;
6) среднее время ожидания машины в очереди ;
7) среднее время простоя поста.
Решение.
Из условия задачи число каналов
;
=1/20
часа;
= 20 машин в час;
= 10;
=2.
Найдем
=
=1+2+2+4/3=19/3;
=
=16/6=8/3.
В
итоге знаменатель дробей в формулах
вероятностей состояний равен
=19/3+8/3=9.
1) Найдем вероятности =1/9; =2/9; =2/9; =4/27. Вероятность соответствует случаю занятости всех постов и одной машине в очереди, то есть s=1. Для вычисления используем формулу = .
=
=
;
=
=
(случай s=2).
2) Вероятность наличия очереди определяем так:
=1(1/9+2/9+2/9+4/27)=8/27.
3) Определим среднюю длину очереди
=
.
4)
Так как
=1,
то
=
.
5)
Найдем вероятность занятости канала
.
6) Среднее время простоя поста равно
=
1/20=0.05 (ч.)
Из полученных результатов видно, что пропускной пункт хорошо выполняет свои функции, очередь невелика, и есть определенный резерв при увеличении потока автомобилей.
Задача 8.4. Рассматривается работа автозаправочной станции (АЗС), на которой имеется 4 заправочные колонки. Заправка одной машины длится в среднем 6 минут. В среднем, каждые 3 минуты на АЗС прибывает машина, нуждающаяся в заправке. Число мест в очереди практически не ограничено. Все машины, вставшие в очередь, терпеливо дожидаются заправки, так как других АЗС поблизости нет. Определить, существует ли стационарный режим работы СМО. Если нет, то уменьшите среднее время обслуживания одной машины и повторите расчеты. Если стационарный режим существует, определите:
1) вероятности pi (i = 0, 1, 2, 3, 4);
2) вероятности наличия очереди pоч;
3) среднюю длину очереди ;
4) среднее число занятых колонок ;
5) вероятности занятости каждой колонки pзан;
6) среднее время ожидания машины в очереди ;
7) среднее время простоя колонки .
Решение. Из условия задачи число каналов ; =1/20 часа; =20 машин в час; =10; =2. Найдем
= =1+2+2+4/3+2/3=21/3;
=
=4/6=2/3.
В
итоге знаменатель дробей в формулах
вероятностей состояний равен
=21/3+2/3=23/3.
1) Найдем вероятности загруженности 0, 1, 2, 3 и 4 каналов.
=
=
;
=
=
;
=
=
;
=
=
;
=
=
.
Вероятность
соответствует случаю занятости всех
постов и одной машине в очереди, то есть
s=1,
вероятность
случаю
машинам в очереди, и т.д. Для вычисления
,
,
,
используем формулу
= .
Получаем:
=
=
;
=
=
=
;
=
=
=
2) Вероятность наличия очереди определяем так:
=
1
(3/23 + 6/23 + 6/23 +
+4/23 + 2/23) = 2/23.
3) Определим среднюю длину очереди
=
=
= 4/23.
4) Так как =1, то = .
5)
Найдем вероятность занятости канала
.
6) Среднее время простоя поста равно
=
=0.1
(ч.)