Теория массового обслуживания.

В самых разных областях практики возникает необходимость в решении своеобразных вероятностных задач, связанных с работой систем массового обслуживания (в дальнейшем СМО). Примерами таких систем могут служить телефонные станции, ремонтные мастерские, справочные бюро, билетные кассы, магазины и т. п. Каждая система состоит из определенного числа обслуживающих единиц, которые будем называть “каналами” обслуживания. СМО могут быть как одноканальными, так и многоканальными.

Работа СМО состоит в выполнении (обслуживании) поступающих на нее потока требований или заявок. Заявки поступают одна за другой в некоторые случайные моменты времени. Обслуживание поступившей заявки продолжается какоето, вообще говоря, случайное время, после чего канал освобождается и снова готов к обслуживанию следующей заявки. В качестве характеристик эффективности обслуживания могут рассматриваться различные величины и функции, например: средний процент заявок, получающих отказ и покидающих систему; среднее время простоя отдельных каналов и системы в целом; среднее число занятых каналов; среднее число заявок, находящихся в очереди; вероятность того, что поступившая заявка будет принята к обслуживанию и т. п. Каждая из характеристик описывает с той или другой стороны степень приспособленности системы для обслуживания потока заявок, её пропускную способность.

Системы массового обслуживания могут быть нескольких типов:

1. СМО с отказом. В этом случае, если все каналы системы заняты в момент поступления заявки, то заявка покидает систему необслуженной.

2. СМО с ожиданием. В этом случае, если все каналы заняты, то заявка становится в очередь и ожидает обслуживания неограниченное время.

3. СМО смешанного типа. В этом случае, если все каналы заняты, то заявка становится в очередь при условии, если в очереди находится не более m заявок (ограничение на длину очереди). Другим условием может быть время пребывания заявки в очереди. В этом случае заявка становится в очередь, но ожидает обслуживания не более определённого времени t и, если обслуживание не началось, то покидает систему необслуженной (ограничение на время пребывания в очереди). Могут также применяться изложенные условия вместе.

Мы рассмотрим СМО с отказом и СМО с ожиданием.

Системы массового обслуживания с отказом.

Введём обозначения для основных характеристик СМО:

1) n  число каналов системы.

2)  плотность потока поступающих в систему заявок (количество заявок, которое поступает в систему за единицу времени).

3)  интенсивность обслуживания заявок одним каналом (количество заявок, которое обслуживает один канал в единицу времени).

4) .

5) - вероятность того, что занято i каналов, где = 1, 2,  , n (вероятности состояний системы).

Основные формулы:

1. Условие вероятностной нормировки

2. Вероятности состояний

, k = 1, 2, …, n.

3. Вероятность обслуживания заявки

.

4. Среднее число занятых каналов

 .

5. Вероятность занятости произвольно взятого канала

.

6. Вероятность простоя канала

= .

Задача 8.1. Гарантийная мастерская принимает заказы на ремонт по одному телефону. Среднее число поступающих в течение часа заявок равно =20. Среднее время оформления заявки равно 1 мин. Считается, что если клиент позвонил, а телефон в это время занят, то он обращается в другую мастерскую (одноканальная СМО с отказом). Найти основные характеристики СМО.

1. Вероятности состояний системы:  вероятность того, что система свободна,  вероятность того, что система занята..

2. Вероятность обслуживания поступившей в систему заявки .

3. Среднее число (математическое ожидание) числа занятых каналов .

4. Среднее время простоя канала .

Проанализировать, как изменятся характеристики СМО, если создать ещё один канал обслуживания? С какой интенсивностью должны обслуживать операторы в двухканальной СМО, чтобы доля потерянных заявок составила менее 20% ?

Решение. 1) Мы имеем одноканальную СМО с показателями ; =20; (ч); . Показатель равен . Для нахождения , используем формулу: (k = 0; 1). Получаем: ; .

2) Вероятность обслуживания заявки равна

3) Среднее число занятых каналов равно

=

4) Найдём вероятность занятости канала (для одноканальной СМО )

5) Найдём среднее время простоя канала:

= (ч)

Рассмотрим теперь случай двухканальной СМО с отказом: ; .

1) Пусть  вероятности наличия 0, 1 и 2 заявок, обслуживаемых системой. Тогда

k = 0,1,2

Вычислим . Найдём теперь вероятности состояний

, , .

2) =24/25=0.96

3) = =8/25=0.32

4) =0.16

5) (ч)

Найдём интенсивность обслуживания двухканальной СМО, при которой теряется не более 20% заявок. Заявка, поступившая в систему, теряется в том случае, если заняты все каналы. В нашем случае =0.2. Параметр остается неизменным, так как не зависит от внутренних характеристик системы. Новую интенсивность обслуживания обозначим . Значение параметра можно найти из уравнения , откуда следует, что . Решая полученное уравнение, получим , . Последний корень не подходит, так как . Итак, , , откуда . Таким образом, для того, чтобы терялось не более 20% поступающих заявок, каждый канал должен обслуживать более 20 заявок в течение часа.

Задача 8.2. На диспетчерском пункте дежурят 4 приемщика заявок на ремонт телерадиоаппаратуры. Заявки принимаются по телефонам. В диспетчерский пункт поступает простейший поток заявок с интенсивностью заявки в минуту. Заявка, поступившая в момент, когда все приемщики заняты, получает отказ. Среднее время оформления заявки 0.5 мин. Найти следующие характеристики СМО:

1) p_i - вероятность того, что занято i приемщиков (i = 0, 1, 2, 3, 4);

2) p_обсл - вероятность того, что заявка будет принята;

3)  среднее число занятых приемщиков;

4) вероятность занятости каждого приемщика;

5)  среднее время простоя приемщика.

С какой интенсивностью должны работать два приемщика заявок, выполняя работу четырех человек, чтобы доля потерянных заявок осталась на прежнем уровне? Найти характеристики соответствующей двухканальной СМО.

Решение. Примем 1 минуту за единицу измерения времени. Имеем ; = 0.5; ; ; .

1) Воспользуемся формулой

= .

Найдем =1+2+2+8/6+16/24=7. Следовательно, ; =2/7; =2/7; =4/21; =2/21 .

2) Вероятность того, что заявка будет принята, равна = = 1  2/21 = 19/21 .

3) Вероятность того, что клиент уйдет не обслуженным, равна =2/21 .

4) Среднее число занятых приемщиков

= =38/21 1.81.

5) Обозначим вероятности состояний двухканальной системы: ; ; . Пусть - интенсивность работы канала в двухканальной системе (то есть количество клиентов, которых приемщик обслуживает за 1 мин.). Пусть . Поток целей для двухканальной системы имеет прежнюю интенсивность =4. Клиент остается не обслуженным в случае, если все приемщики заняты. Приравняем вероятности  . После преобразований получим квадратное уравнение . Решая это уравнение, получим ; <0. Отрицательное значение не отвечает смыслу задачи. Найдем из уравнения . Получим (клиентов в минуту). Вывод: того, чтобы доля необслуженных клиентов не возросла при сокращении числа приемщиков с четырех до двух, каждый приемщик должен повысить интенсивность своей работы более чем в 3 раза по сравнению с 4х канальной системой, то есть за минуту обслуживать 6,56 клиентов вместо двух.

Задача. Рассмотрим работу платной телефонной справочной службы, имеющей 2 телефонные линии. За 1 час в среднем поступает 30 запросов, а один оператор может ответить на 20 запросов. Платная справка стоит 5 рублей, затраты на зарплату оператору и обслуживание одной телефонной линии составляют 30 рублей в час. Затраты на создание одной телефонной линии составляют 15000 рублей. Определить:

1) Прибыль телефонной справочной за 1 час работы.

2) За какое время окупятся затраты на оборудование?

3) Выгодно ли установить третью телефонную линию?

Решение.

1) Мы имеем двухканальную СМО с отказами с параметрами n = 2; = 30; = 20; = 1.5. Найдем сумму

= =1+1.5+1.125=3.625.

Следовательно,

= = 0.31. =10.31=0.69.

Количество обслуженных в среднем за 1 час заявок составляет = 20.7. Величина дохода справочной за 1 час работы составит =103.5 (рублей). Расходы за 1 час составляют 230=60 (рублей). В итоге чистая прибыль составит 103.560=43.5 рублей.

2) Определим время окупаемости: 215000:43.5=689.66 часа.

3) Найдем аналогичные величины для 3х канальной СМО.

n = 2; = 30; = 20; = 1.5. Найдем сумму

= =1+1.5+1.125+0.5625 =4.1875.

Следовательно,

= = , =10.1343=0.8657

Количество обслуженных в среднем за 1 час заявок составляет = 25.97. Величина дохода справочной за 1 час работы составит в среднем =129.85 (рублей). Расходы за 1 час составляют 330=90 (рублей). В итоге чистая прибыль составит 129.8590=39.85 рублей. Определим время окупаемости: 315000:39.85=1129.23 часа.

Задача 8.3. В диспетчерский пункт завода по ремонту холодильников поступают заявки, которые принимаются четырьмя приемщиками по четырем телефонам. В среднем поступает 30 заявок в час. Заявка, поступившая в момент, когда все приемщики заняты, получает отказ. Среднее время оформления заявки составляет 3 мин. Обслуживание одной заявки приносит прибыль 500 руб., создание нового канала обслуживания требует среднего расхода 1500000 руб., эксплуатация одного канала требует среднего расхода 1000 руб. за 1 час. Определить основные показатели системы. Найти, через сколько часов система будет давать прибыль. Если система убыточна, определить величину убытка за 1 час работы. Вычислить сумму прибыли после 2000 часов работы системы.

Решение. Мы имеем четырехканальную СМО с отказами с параметрами n = 4; = 30; = 20; = 1.5. Найдем сумму

= = 1+1.5+1.125+3.375+5.0625 = 12.0375  12.04.

Следовательно,

= = 0.42056 0,42. =10.42=0.58.

Количество обслуженных в среднем за 1 час заявок составляет = 17.4. Величина дохода справочной за 1 час работы составит =8700 (рублей). Расходы за 1 час составляют 41000=4000 (рублей). В итоге чистая прибыль составит 87004000 = 4700 рублей.

Определим время окупаемости: 41500000:4700 = 1276.6 часа. Прибыль после 2000 часов работы равна 4700(20001276.6) = 3399980 руб.