К О Р О Л Е В С К И Й И Н С Т И Т У Т УПРАВЛЕНИЯ, ЭКОНОМИКИ И СОЦИОЛОГИИ

Утверждаю:

Проректор по учебной и научной работе КИУЭС

В.В.Котрин

«___»___________ 2005 г.

Кафедра математики математика и ее приложения

Часть 3. Методы и модели в экономике. Финансовая математика. Эконометрика.

Методические материалы и указания

к выполнению контрольных работ

для студентов заочной формы обучения

Королёв, 2005

Борисова О.Н., Яцкевич А.Б. (под редакцией Борисова В.Ф.) Математика и ее приложения. Методические материалы и указания к выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения КИУЭС. Часть 3. Методы и модели в экономике. Финансовая математика. Эконометрика.  Королев: КИУЭС, 2005, с.

Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент Сдвижков О.А., к.ф.-м.н., доцент Киселев В.Н..

В данном учебном пособии излагаются основные теоретические сведения и приводятся решения задач контрольных работ по курсам “Методы и модели в экономике”, “Финансовая математика”, “Эконометрика” для студентовзаочников КИУЭС. Пособие может служить путеводителем при работе с более полными и подробными курсами математики.

РЕКОМЕНДОВАНО Учебно-методическим советом КИУЭС Протокол № от 2005 г.

Учебное пособие рассмотрено и одобрено на заседании кафедры математики. Протокол № 5 от 05.03.2005 г.

Зав. кафедрой математики КИУЭС д.ф.-м.н., профессор Борисов В.Ф.

Методы и модели в экономике.

Курс “Методы и модели в экономике” включает в себя несколько разделов теории исследования операций. Первая задача контрольной работы № 5 принадлежит к задачам сетевого и календарного планирования. Опишем простейшую модель сетевого планирования. Имеется производственный цикл, разбитый на этапов, которые мы будем обозначать числами . Переход от одного этапа к другому осуществляется посредством выполнения производственных операций, которые мы будем обозначать . Для операции этап называется началом операции, а этап называется ее окончанием. Задан список операций и их продолжительность . Основная аксиома сетевого планирования требует, чтобы всякая операция с началом в начиналась только после того, как закончатся все операции, заканчивающиеся на этом, –том, этапе. При этом для простоты мы будем считать, что есть единственный этап, в который не входит ни одна операция (начало цикла ), и единственный этап, из которого не выходит ни одна операция (окончание цикла ). В этих условиях требуется определить минимальное время окончания всех операций производственного цикла, а также интервал времени, в течение которого мы можем выполнять операции с тем, чтобы не увеличить .

Начнем с наглядного представления имеющихся операций в виде так называемого сетевого графа, то есть множества точек на плоскости, каждая из которых призвана изображать тот или иной этап производственного цикла, и векторов, соединяющих вершины и , если имеется операция вида продолжительности . Пример такого сетевого графа изображен на рисунке.

2 5

4

1

6

3

В этом примере имеется этапов и 8 операций. А именно, операция продолжительностью 3 дня, операция продолжительностью 1 день, операция продолжительностью 2 дня, операция продолжительностью 5 дней, операция продолжительностью 5 дней, операция продолжительностью 1 день, операция продолжительностью 2 дня, операция продолжительностью дней 4 дня.

Путь сетевого графа есть произвольный упорядоченный набор вершин , , , … , и операций вида , , … . Изображать путь удобно в виде следующего связного графа:

.

В нашем примере всего имеется четверо путей:

,

,

.

Критическим путем называется путь, все операции которого нельзя отложить с тем, чтобы не увеличить общую продолжительность выполнения операций всего технологического цикла. Таким образом, суммарное время выполнения операций любого критического пути равно . Чтобы найти критические пути, определим для каждого этапа раннее начало всех операций вида и позднее окончание всех операций вида . Приведем расчетные формулы. Для полагаем . Для полагаем . Для остальных вершин рассчитываем соответствующие величины, используя рекуррентные формулы:

,

.

Примеры расчеты величин , будут даны ниже. Полным резервом операции называется величина

.

Свободным резервом операции называется величина

.

Свободный резерв  это время, на которое можно отложить начало операции с тем, чтобы не затронуть начало выполнения любых других операций цикла. Полный резерв есть максимально возможный сдвиг начала операции с тем, чтобы не увеличить общее время завершения цикла, однако при этом сдвиге резервы каких—то последующих операций могут быть уменьшены или даже полностью исчерпаны. Операция называется критической, если ее полный резерв равен 0. Отметим, что все критические операции соединяют вершины, для которых выполнены соотношения , (обратное не верно). Теперь мы можем дать иное определение критического пути: это произвольный набор критических операций, которые последовательно соединяют начальный и конечный этап цикла.

Раннее начало операции есть . Раннее окончание . Позднее начало операции есть . Позднее окончание операции есть .

Рассмотрим теперь построение календарного графика сетевой модели. Пусть в дополнение к продолжительности выполнения операции известно, что на этой операции занято рабочих. Требуется построить график потребности в рабочей силе для произвольного графика выполнения операций цикла. Обычно рассматривают два графика выполнения операций: 1) когда начало операций вида равно (ранние сроки выполнения операций) 2) когда начало операций вида сдвигают на величину свободного резерва (поздние сроки выполнения операций). В принципе, можно поставить творческую задачу: так спланировать начало некритических операций, чтобы максимальная потребность в рабочей силе была наименьшей, или чтобы потребность в рабочей силе была максимально равномерной по времени выполнения всего технологического цикла. При этом какие—то некритические операции удобно сдвигать не только на величину свободного резерва, но и, быть может, на величину их полного резерва. Эта задача, однако, не имеет простого алгоритмического решения, и поэтому мы не будем ее здесь в общем виде рассматривать.

Задача 7.1. Сетевая модель состоит из 9 этапов и включает в себя следующие операции:

Операция	12	13	14	25	35	45	26
Продолжительность	10	7	12	8	13	9	12
Число рабочих, занятых на операции	5	3	2	4	3	6	4

Операция	48	56	57	58	69	79	89
Продолжительность	7	9	11	8	8	9	13
Число рабочих, занятых на операции	5	2	1	5	3	2	4

Постройте сетевой граф модели. Для каждого i определите раннее начало операций , стартующих на i-м этапе, и позднее окончание операций [i], заканчивающихся на i-м этапе. Для каждой операции вида определите раннее и позднее начало операции, и ранее и позднее окончание операции, а также полный и свободный резерв операции. Выпишете все критические пути. Постройте календарный график потребности в рабочей силе, сначала исходя из ранних сроков начала операций, а затем  из поздних сроков начала операций.

Решение.

Начнем с построения сетевого графа.

8

2 5

12 11

10 9 8 7

3 13 9

1 7

8 13 9

12 9

7

4 8

6

Найдем ранее начало операций для всех этапов . Для по определению . Для получаем . Аналогично, при раннее начало определяется соотношением ; а при  соотношением . Первое отличие в рассуждениях возникает при . В эту вершину сетевого графа идет три стрелки – из вершин 2, 3 и 4. Следовательно, мы должны рассмотреть три выражения

, , ,

и взять наибольшее из них, то есть . Далее, в вершину 6 ведет две операции, из вершины 2 и из вершины 5. Следовательно,

.

Для вершины 7 все просто: . В вершину 8 ведет две операции, из вершины 4 и из вершины 5,

.

И, наконец, в вершину 9 идет три стрелки – из вершин 6, 7, 8. Следовательно,

Таким образом, минимальное время выполнения всех операций технологического цикла равно дня.

Определим теперь позднее время окончания операций для каждого этапа . По определению, . Из вершин 6, 7, 8 начинается ровно по одной операции, поэтому

,

,

.

Из вершины 5 выходит три стрелки, в вершину 8, 7 и в вершину 6 соответственно, следовательно,

В вершине 4 начинается две операции, , . Таким образом,

.

Для получаем . Для

.

Остается рассмотреть случай :

Критическими вершинами оказались этапы 1, 4, 5, 8, 9. Единственный критический путь в нашем графе – это путь

.

Определим резервы, полный и свободный, всех операций.

, ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Запишем полученные результаты в виде таблицы.

Операция	Продолжительность	Полный резерв	Свободный резерв	Раннее начало	Раннее окончание	Позднее начало	Позднее окончание
	10	3	0	0	10	3	13
	7	1	0	0	7	1	8
	12	0	0	0	12	0	12
	8	3	3	10	18	21	13
	12	12	8	10	22	22	34
	13	1	1	7	20	8	21
	9	0	0	12	21	12	21
	7	10	10	12	19	22	29
	9	4	0	21	30	25	34
	11	1	0	21	32	22	33
	8	0	0	21	29	21	29
	8	4	4	30	38	42	44
	9	1	1	32	41	33	42
	13	0	0	29	42	29	42

Теперь перейдем к построению календарных графиков. Будем сначала исходить из ранних сроков выполнения всех операций. Будем изображать количество рабочих , занятых на выполнении операции в промежутке с –того по –тый день в виде прямоугольника с основанием 1 и высотой .

22

15

13

11

10

7

6

2

7 10 12 18 20 21 22 29 32 42

Начнем с критических операций. Отвечающие критическим операциям прямоугольники будем изображать жирными линиями на диаграмме. Эту часть диаграммы нельзя сдвинуть по времени. Точно также мы не будем сдвигать по времени операции, имеющие нулевой свободный резерв. Это операции , , , . Начала всех остальных операций сдвинем на величину их свободного резерва.

21

18

14

10

7

6

2

7 10 12 21 22 29 32 42

Как видно из диаграмм, при первом способе планирования максимальная потребность в рабочей силе равна 22 человекам, и при втором – 21 человеку.

Перейдем ко второй части курса, в котором мы разберем метод динамического программирования на примере решения задачи об оптимальном распределении ресурсов.

Сформулируем требования к моделям, которые могут быть решены методом динамического программирования и выпишем основное уравнение динамического программирования, называемое уравнением Беллмана.

В дискретных моделях динамического программирования мы имеем дело с управляемой системой, которую мы можем переводить из одного состояния в другое за счет выбора управления из некоторого множества управлений. Процедуру перевода системы из одного состояния в другое повторяют раз. Для каждого шага известен список возможных состояний системы

, , …, ,

и список состояний , в которые систему можно перевести из состояния :

.

Выбирать, в какое состояние можно перевести систему из данного состояния, можно произвольным образом. Результатом каждого такого выбора является цепочка

,

называемая допустимым процессом. Графически эту последовательность переходов можно изобразить в виде графа, вершины которого изображают возможные состояния системы, а стрелки – возможные переходы из одного состояния в другое.

В это примере всего имеется 4 этапа. На первом этапе состояние системы единственное – это . На втором, третьем и четвертом этапах имеется по три возможных состояний системы. На первом этапе допустимы переходы , , . На втором этапе возможны следующие переходы:

из состояния возможны переходы , ;

из состояния возможен переход ;

из состояния возможны переходы , .

На третьем этапе возможны следующие переходы.

Из состояния : , ;

из состояния : , ;

из состояния : , , .

На каждом шаге качество принятого решения оценивается некоторой функцией , зависящей от состояния и используемого управления (проще всего считать, что  это прибыль). Функционал, описывающей качество принятых решений на всех этапах, есть сумма

.

В этих условиях требуется определить цепочку допустимых переходов системы из одного состояния в другое, обеспечивающую максимальное значение функции .

Основная идея динамического программирования заключается в следующем. Вместо того чтобы выписывать все возможные цепочки переходов системы из одного состояния в другое и для каждой из таких цепочек определять значение функции , поступают следующим образом. Сначала рассматривают все возможные состояния системы на последнем этапе (независимо от того, можно ли вообще прийти в это состояние из заданного начального положения системы, и, если можно, то, с помощью какого именно процесса), и для каждого такого состояния определяют максимум функции . Обозначим . Для –го шага вновь рассмотрим все возможные состояния и положим

.

Разъясним смысл выписанной формулы. Зафиксируем и выберем какоелибо управление . Оно переведет систему из состояния на –ом шаге в состояние на –м шаге. Прибыль от принятого решения складывается из прибыли этапа и максимально возможной прибыли всех следующих этапов (в нашем случае пока только одного, последнего этапа). Таким образом, суммарная прибыль равна . Естественно, если мы попали в состояние на –м шаге, то мы должны управлять системой так, чтобы обеспечить максимум функции . Таким образом, смысл функции – максимальная прибыль, которую можно получить на двух последних этапах, если на –м шаге мы перевели систему в состояние .

Теперь мы можем написать общее уравнение Беллмана для нашей задачи. Обозначим через  максимум суммы по всем допустимым управлениям для системы, находящейся на –м шаге в состоянии . Тогда

.

При этом . Выписанное уравнение называется уравнением Беллмана. Функции определяются последовательно, начиная с конца . Метод динамического программирования для решения задач оптимального управления описанного вида состоит, следовательно, в последовательном определении функций , , … , , и тех управлений , которые обеспечивают максимум функции в соотношении . Решим с помощью метода динамического программирования следующую задачу об оптимальном распределении капиталовложений между предприятиями.

Задача 7.2. Фирма, в состав которой входит три предприятия, принимает решение о комплексной реконструкции этих предприятий. В следующей таблице указаны 4 возможных решения по каждому предприятию, затраты c_i на реализацию таких решений и чистая прибыль R_i как результат принятого решения (в млн. руб.)

	1е предприятие		2е предприятие		3е предприятие
	с1	R1	c2	R2	c3	R3
Оставляем в прежнем виде	0	0	0	0	0	0
Малая механизация	10	17	1	11	7	17
Частичная модернизация	12	30	5	24	12	37
Полная реконструкция	22	45	12	31	22	45

Требуется, используя метод динамического программирования, составить план реконструкции предприятий, обеспечивающий максимальную прибыль, при условии, что фирма может вложить в реконструкцию предприятий не более 39 млн. руб.

Решение.

В нашей задаче имеется три этапа, на каждом из которых мы должны принять решение о реконструкции первого, второго и третьего предприятия соответственно. Состояние системы на каждом этапе , , описывается наличием неизрасходованных денежных средств. Поскольку с самого начала у нас имеется 39 млн. рублей, и мы должны расходовать целое число миллионов, можно считать, что на каждом шаге количество неизрасходованных денег есть целое число от 0 до 39.

Выпишем функцию . Если к моменту принятия решения о реконструкции третьего предприятия известно, сколько осталось денег, то оптимальное решение очень простое  мы проводим самую дорогую реконструкцию, какая нам доступна. Результат оформим в виде таблицы.

	1	2	3	4
	0	17	37	45

Теперь рассмотрим второе предприятие и вычислим функцию .

Пусть сначала . Тогда имеется единственная возможность , . Если , то имеется два доступных проекта по второму предприятию: проекты №1 и №2. При этом на реконструкцию третьего предприятия остается денег , поэтому прибыль последующих этапов равна 0. Имеем:

,

.

Следовательно, при , . Если , имеется три возможности:

,

,

.

Максимум из этих трех выражений достигается в третьей строке, следовательно, , . Если , то имеются следующие три возможности:

,

,

.

Максимум из этих трех выражений достигается в третьей строке, следовательно, , . Если , то:

,

,

.

Максимум достигается во второй строке, следовательно, , . Если , то все четыре проекта реконструкции на втором этапе становятся доступны.

,

,

,

.

Максимум достигается в третьей строке, следовательно, , . Если , то имеем:

,

,

,

.

Максимум достигается во второй строке, следовательно, , . Если , то имеем:

,

,

,

.

Максимум достигается в третьей строке, следовательно, , . Если , то имеем:

,

,

,

.

Максимум достигается в третьей строке, следовательно, , . Если , то тогда:

,

,

,

.

Максимум, попрежнему, достигается в третьей строке, следовательно, , . Если , то тогда:

,

,

,

.

Максимум достигается в третьей строке, следовательно, , . При , имеем:

,

,

,

.

Максимум достигается во второй строке, следовательно, , . Если , то тогда:

,

,

,

.

Максимум достигается в третьей строке, следовательно, , . Наконец, при , то тогда:

,

,

,

.

Максимум достигается в четвертой строке, следовательно, , . Оформим полученные результаты в виде таблицы.

					12
	1	2	3	2	3
	0	11	24	28	41

	2	3	2	3	4
	48	61	68	69	76

Остается рассмотреть первый этап. Начальное состояиние здесь ровно одно, . Посмотрим, какую суммарную прибыль мы получим, если примем каждой из четырех возможных решений о реконструкции первого предприятия. Получаем:

,

,

,

.

Максимум достигается в четвертой строке, следовательно, , . Теперь мы можем восстановить цепочку оптимальных решений по реконструкции всех трех предприятий. Первое предприятие мы реконструируем по проекту №4. При этом затрачиваем 22 млн. рублей, получая 45 млн. рублей чистой прибыли. К моменту принятия решения о втором предприятии нам остается распределить 3922=17 млн. рублей, поэтому оптимальным является решение №3 (эта информация имеется в таблице, задающей функцию ). При этом мы затрачиваем 5 млн. рублей, получаем чистой прибыли 24 млн. рублей, и сохраняем 175=12 млн. рублей для реконструкции третьего предприятия. С этой суммой для реконструкции третьего предприятия мы выбираем проект №3, затрачивая 12 млн. рублей и получая чистой прибыли 37 млн. рублей. Суммарная прибыль 45+24+37=106 млн. рублей.