2,1 Кешенді сандардың алгебралық тұйықталуы.

F[x]- полином сақинасы х-тен f өрісінде.

Анықтама: F өрісін алгебралық тұйықталған дейміз егер оң дәрежелі полином f[x]-тен F өрісіне кем дегенде бір түбірі болса.

Теорема 1,7 Кешен сандар өрісі алгебралық тұйықталған.

Дәлелдеуі. f кез келген полином оң дәрежеліден F[x] егер f(0)=0 онда ноль полином түбірі f болады. Айталық f(0)≠0 және ойласақ m=|f(0)| r-бұндай оң сан.

(1)(∀zϵC)(|z|r→M≤|f(z)|)

Бұндай r теорема 1,1 де бар. K={zϵC│|z|≤r} Теорема 1,5 функция |f| ең кіші мәні көптікте кетеді, осындай сан aϵK бар.

(2)|f(a)|≤|f(z)| кейбіреулеріне (3) zϵK (|z|≤r_0) бөлінеді де осыдан (1) және (3) аламыз (4)(∀zϵC)(|z|≤r_0→|f(a)|≤|f(z)|) Негізінде (2)және (4)аяақтаймыз (5)∀zϵC) (|f(a)≤f(z)|)

Егер f(a)≠0 онда Даламбер леммасы бойынша кешенді сан анықталады С

|f(c)<|f(a)| (cϵC)

Мәселен соңғы теңсіздік қайшылық (5) осыған орай қашан f(a)≠0, мүмкін емес, келесі f(a)=0 кешенді сан а полином түбірі f болып келеді.

Салдар 1,8 l[x] сақинасындағы дәрежесә бір-ден артық кез-келген полином l[x]сақинасында келтіріледі.

Дәлелдеуі: fϵl[x] және deg⁡〖f>1 1.7 теорема бойынша, aϵc осындай анықталған f(a)=0 14.1.11. теорема бойынша,(х-а)бөлінеді f бұндай полином g l[x]-te анықталған f=(x-a)*g 〗 осымен deg⁡〖g>0〗 қаншалықты deg⁡〖f>1.〗 Осы бейнеде,полином f сақинаға кестіреміз l[x]

Салдар 1,9 Кез-келген l[x] сақинасындағы оң дәрежелі f полиномынкешен сандар және нормаланған көбейтінді түрінде өрнектеуге болады: С-полиномның үлкен коффинсенті d1....dn-fϵC[z]-түбірлері f=C(x-d_1 )…(x-d_█(n@)

Бұл анықтама 1,8және теорема 14,2,11 полиномда өрісте жіктеу көбейтінді де нормалдау жіктемейтін көптілікте шығады.

Егер жіктелуде (1) а1,,,ат барлық әр түрлі полином түбірі f с-те, онда Бұл жіктеуді келтірсек. (2)f=c(〖x-a_(1 ))〗^k1…(x-a_m)km, k1+…km=n

Жіктеу (2) конондық жіктеу полиномы f жіктелмейтін көптілікте деп аталады ks көрсеткіш еселік түбірі〖 α〗_S деп аталады.

Салдар 1,10 Кейбір полином f оң дәрежелі n φ[x]-те комплекс түбірі бар, егер оның әрбір түбірі қаншалықты рет саналса, онда оның еселігі қайсы.

Полинома модулінің өсіуінің теориясы

Теорема 1,1

Дәлелдеуі:

f(z)+a₀+a₁z+…+a_nz^n∈ C [z], a_n n

Модел бойынша (теорема 4, 7, 8 )

|a_nzⁿ+a_n-1z^n-1+…+a₀| _nzⁿ|-|a₀+a₁z+…+a_n-1z^n-1|

|a₀+a₁z+…+a_n-1z^n-1| |a₀|+|a₁||z|+…+|a_n-1||z|^n-1

Сосын, енді z

1. |f(z) |a_n||z|ⁿ[1-( +…+

2. Орналастырсақ, b=max{ }

Белгілеп, Енді к≥1 және |z|≥1Тең емес екенін орындалады |z|^k≥|z| және

3. 

4. Нақты (1)-(3) аламыз. ||

Онай қарасақ

1. 

Сосын, бар

2. ^1/n

Нақты (4)-(6) анықтасақ

| ^1/2

Полинама модулінің үзіліссіздігі.

f-полинамасы z-тен кешенді сандардың өрісіне дейін. Көрініс көптікте анықталған С барлық кешенді сандар кешенді фуннкцияалардың ауыстырымдары бар. Біз оны полином моделі дейміз fжәне символмен белгіленеді. |f|

Теорема.1,2f-C[z]-ғы кез-келген полином болсын полиномның модулі С жиынында үзіліссіз функция болады.

Дәлелдеуі:Көрсетсек, кейбір оң сандар Е табылады осындай оң кейбір кешенді сандар z,егер |z-a|< онда ||f(z)-|f(a)|<E

Теорема 1,3 анық,дұрыс егер полином f нөльдік және нөльдік дәрежесі болады.Полиномда f оң дәрежесі n бар

Жатқызсақ f дәрежесімен айырымы z-a:

f(z)=c₀+c₁(z-a)+…+c_n(z-a)ⁿ (c_n 0)

Қаншалықты f(a)=c₀ онда f(a)=c₀, то

f(z)-f(a=c₁(z-a)+…+c_n(z-a)ⁿ

Және 4,7,8 теорема бойынша тең емес екендігін аламыз.

1. |f(z)-f(a)|

Қойамыз: b=max {|c₁|,…,|c_n|}

Осымен C_n

2. |z-a|^k

Байланысты (1) және (2) бар

|f(z)-f(a)|

Осыған қарай, кез келген E>0

nb|z-a|<E |z-a|<E/nb

Әр сандарда Е сәйкесінше оң сандарды қойсақ

Сосын, кезкелген Е>0, кейбір z-тен С-ға

Теорема:f-C[z] –ғы полимон болсын Егер <Z_n> тізбекшесі а кешен санына сәйкес келсеб онда <|f(Z_n)|> тізбекшесі |f(a)|-ға сәйкес келеді.

Дәлелдеуі: Теорема 1,2

1. (

Шарт бойынша, біртіндеп<Z_n>жинақталатын санға а сосын кез келген n₀ натуралды сандар бар|zn-a|<δ кейбір n>n₀-ға

Осыдан (1) ары қарай

Осы бейнеден, біртіндеп <|f(Z_n)|> жинақталған санға |f(a|)

Полином моделінің ең кіші мәні:

Төмен қарай атақты анализдіңБольцано-Вейрштрасса тоеремасы керек: кей ақырсыз біртіндеп<Z_n> нүктелі дөңгелек|z|≤r r-( фиксированды оң нақты сан) қолданады келесімі, кейбір жинақты нүктелік дөңглекте

Теорема 1,4, f-C[x] полином болсын r –оң нақты сан және m=inf|f(z)| онда |f(a)|=m және |a|≤r болатындай а кешен саны бар.

Дәлелдеуі:<E_n>біртіндеп оң нақты сан жинақты ноьлге

Осымен m=inf |f(z)| онда әрбір мүше E_n біртіндеп Z_n, ,бар болуы

m

Сондықтан біртінде <|f(z_n)|> жинақталады m-ге:

1. Барлық элемент біртіндеп<z_n> дөңгелекте орналасқан |z| Б-В теорема бойынша, бұл біртіндеп келесіге жалғасады <X_n> жинақталған кейбір нүктелі а дөңгелегі |z|≤r

Теорема бойынша 1,3 3-ден келесі

Осымен |f( келесіден келесіге біртіндеп|a( жинақталады m-ге онда,

Негізінен (3), (4) және (5) аяақтаймыз |f(a)|=m және |a|≤r

Теорема 1,5 Кез келген полином модулі f осы C(z) өзінің ең кіші мәніне көктікте С жетеді

Дәлелдеуі Теорема , анығында дұрыс, егер deg f=0 немесе f(0)=0 Сондықтан ойлансақ degf≥1 және f(0)≠0 Осыдан M=|f(0)| Теорема 1,1 бойынша.

Болса

Анықталады а саны осылай.

|f(a)|≤|f(z) егер |z|≤r

2. Және (4) бар ( осы бейнеден |f| C ең кіші мәні нүктелі а жетеді.

Даламбера леммасы. Дәлелдеуі теорема 1,7 мәнді өлшемді негізінде келесі леммада, ол Даламбер леммасы дейміз.

Лемма 1,6 кешен сандар өрісінде берілген оң дәрежелі полимон Егер f(a)≠0 болса, |f(c)|<|f(a)| болатындай С кеншен саны бар.

Дәлелдеуі. F(x)=a₀+…+a_nxⁿ көпмүшелік дәрежесі n>0 және f(a) Қарастырсақ f дәрежелі айырымы бойынша х-а:

1) ⁿқайда с₁

Қарастырсақ z=x-a және

C_m-нөльдік емес коэффициент полиномы g ең кіші оң индексімен (0<m≤n) онда

Анықтасақ h(z)

H(z)=

0 егер m=n

Онда теңдік былай жазуға болады

(1) кез келген түбірді d-арқылы белгілейміз m дәрежелі саннан (-c₀/c_m)

D^m=-c₀/c_m.

Қарастырсақ (5) Z мәнінде

(5) және (6) теңсіздігін аламыз

Негізінде (4) аяақтаймыз:

^{- 1}

Осыдан аламыз.

9) ^-1 егер m<n

B={

1. Егер m=n.

Белгімен енді n<nB>0, қаншалықты С_n және d нөлдіктен өзгеше, осыдан (8) және (9) теңсіздік шығады

B].

0< }

|f(a+ { енді m<n,

0< .

Виета формуласы:Түбірлер арасындағы арасындағы тәуелсіздікті анықтаймыз және полином коэффиценттің.

Теорема 1,11 (Виета)

c₁=-(a₁+a₂+…+a_n);

c₂=a₁a₂+a₁a₂+a₁a₃+…+a_n-1z_n;

c₃=-(a₁a₂a₃+…+a_n-2a_n-1a_n);

…………………………..

C_n=(-1)ⁿa₁a₂…a_n

Дәуелдеуі. Осымен а₁,,,а_n- полином түбірі f, ондакелесі 1,9 бойынша

Zⁿ+c₁+z^n-1+…+c_n-1z+c_n=(z-a₁)(z-a₂)…(z-a_n)

Көбейтсек сызықтық көптікте оң жақ теңссіздікпен , онда аламыз келесі теңдеуді.

zⁿ+c₁z^n-1+…+c_n-1z+c_n=zⁿ-(a₁+…+a_n)z^n-1+…+(-1)ⁿa₁a₂…a_n.

осы теңсіздіктен екілік полином z-тен келесі теңсіздік коффиценті жалғыз дәрежелі z;теңдік коэффиценті жалғыз дәрежелі z , осыдан формула аламыз (1)

формулалар (1) Виета формуласы деп атлады.

Салдар1,12 егер a₁…a_n- полином түбірі с₀zⁿ+c₁z^n-1+…+c_n-1+c_n дәрежелі n С[z]-тен,

Онда; =-(a₁+…+a_n);

=a₁a₂+a₁a₃+…+a_n-1a_n

……………………….

ⁿa₁a₂…a_n.