1.2. Погрешность округления

Под округлением понимают отбрасывание m разрядов операнда после предварительного добавления единицы в старший из отбрасываемых разрядов. Математически округленное число записывается следующим образом:

.

Если в исходном числе b_n+1=1, то происходит перенос единицы в n-й разряд, а если b_n+1=0, то переноса нет.

Погрешность округления находится как разность

Математическое ожидание погрешности округления вычисляется по формуле

(6)

Для равномерного закона распределения случайной величины b_i формула (6) приобретает вид

. (7)

Сравнивая величины погрешностей (3) и (7), можно отметить, что математическое ожидание погрешности округления в 2^m раз меньше математического ожидания погрешности отбрасывания.

Рассчитав дисперсию погрешности округления по формуле (4), получим

. (8)

1.3. Инструментальные погрешности выполнения вычислительных операций

Инструментальные погрешности операций появляются из-за применения к промежуточным результатам процедур усечения. В качестве примера рассмотрим операцию умножения Z=x₁x₂, где x₁=0,a₁a₂…a_n; x₂=0,b₁b₂…b_n. Операция умножения выполняется по рекуррентному соотношению

,

где Z₀=0, i=1,2,…n.

Всего делается n шагов, на каждом из которых получаются промежуточные результаты:

.

Причиной погрешности является отбрасывание i младших разрядов при правом сдвиге числа x₁ на i разрядов вследствие их выхода за разрядную сетку. Оценим максимальную величину ошибки при условии, что во всех разрядах единицы. На первом шаге отбрасывается один последний разряд числа x₁ весом 2^-(n+1), на втором – два разряда с весами 2^-(n+1) и 2^-(n+2). Нарастающую ошибку отбрасывания представим в виде таблицы:

Шаг 1 –

Шаг 2 –

Шаг 3 –

Шаг i –

Шаг n –

На произвольном i-м шаге за сетку выходят i разрядов с суммарным весом, определяющим текущую ошибку отбрасывания

. (9)

За n шагов итоговая ошибка находится как общая сумма отброшенных разрядов по всем шагам

, (10)

где n>>1.

Оценка (10) является предельной, так как предполагается, что во всех разрядах содержатся только единицы. Вероятность такого события равна 2^-n. Для оценки математического ожидания и дисперсии ошибки отбрасывания необходимо знать закон распределения поразрядных вероятностей P₁(a_i) и P₁(b_i). Если предположить равными вероятности появления нулей и единиц в отбрасываемых разрядах, можно определить математическое ожидание ошибки произвольного шага i (9)

. (11)

Математическое ожидание ошибки, накопленной за n шагов, равно

. (12)

Дисперсию ошибки (10) вычислим как сумму дисперсий ошибок на каждом шаге итераций (9)

. (13)

2. Трансформированные погрешности

В большинстве случаев погрешность источника информации достаточно велика по сравнению с инструментальной погрешностью цифровых средств обработки. Это позволяет пренебречь вносимой инструментальной составляющей погрешности и считать погрешность на выходе вычислительной операции как результат трансформации абсолютных значений погрешностей операндов. Обычно оценивают предельные значения погрешностей на выходе, для чего используют различные способы.

2.1. Метод границ

Сущность метода заключается в задании граничных значений исходных операндов и вычислении верхней и нижней границ области, в которой находится результат. В качестве примера оценим погрешность суммы двух величин x₁, x₂, погрешности которых заданы в виде интервальной оценки доверительного интервала, в который с заданной вероятностью попадает истинное значение физической величины. Исходные операнды являются оценками физических величин , и связаны с истинными значениями следующими соотношениями

, ,

где 2₁, 2₂ – доверительные интервалы первой и второй величин соответственно. Интервалы, внутри которых находятся истинные значения, можно представить в виде неравенств

(14)

Сложив неравенства (14), получим границы области, внутри которой находится истинное значение суммы

.

Метод границ предполагает прямой расчет максимальной погрешности результата с использованием максимальных погрешностей операндов, что возможно при относительно несложных вычислениях. Это существенно ограничивает применение метода границ.