Розділ 11. МОНОТОННІСТЬ ТА ЕКСТРЕМУМИ

Функції.

11.1. Зростання і спадання функції.

В означенні 1.17 введено поняття зростаючої і спадної функції. В цьому параграфі покажемо, як за допомогою першої похідної досліджувати функцію на монотонність.

Теорема 11.1. Необхідною і достатньою умовою зростання неперервної на і диференційованою на функції є невід’ємність її похідної на тобто:

зростає на на .

Доведення. Необхідність. Надамо аргументу х приріст і розглянемо відношення

.

Оскільки за умовою теореми – зростаюча функція, то

при ,

і

при .

В обох випадках

. (11.1)

За умовою нашої теореми

,

тому з (11.1) за теоремою 3.10 маємо . Що й треба було довести.

Достатність. Розглянемо два довільні значення аргументу х₁ і х₂ ( ) з відрізка . За умовою нашої теореми на відрізку для функції виконуються умови теореми Лагранжа, тому маємо

, (11.2)

де . За умовою теореми , тому з (11.2) слідує, що , тобто – зростаюча функція

Аналогічна теорема має місце і для спадної функції.

Теорема 11.2. Необхідною і достатньою умовою спадання неперервної на і диференційованою на функції є недодатність її похідної на тобто:

спадна на на

Теореми 11.1 і 11.2 мають наступний геометричний зміст:

якщо на відрізку функція зростає, то дотична до кривої в кожній точці цього відрізку утворює з віссю ОХ гострий кут або (в деяких точках) – горизонтальна, тобто тангенс цього кута не невід’ємний (рис. 11.1);

якщо функція спадна на відрізку , то кут нахилу дотичної тупий або (в деяких точках) дотична горизонтальна, тобто тангенс цього кута не додатний (рис. 11.2).

Таким чином, доведена теорема дає змогу говорити про спадання або зростання функції в залежності від знаку її похідної.

Приклад 11.1. Знайти інтервали монотонності функції

.

Розв’язування. Похідна функції рівна

.

Тому при функція спадає, так як тут , , а при функція зростає, так як – (рис. 11.3).

11.2. Максимум і мінімум функції.

Означення 11.1. Функція має максимум в точці х₁ , якщо можна знайти окіл точки х₁ такий, що для всіх точок цього околу виконуватиметься нерівність .

Так функція (рис. 11.4) має максимум в точках х₁ і х₂.

Означення 11.2. Функція має мінімум в точці х₂ , якщо можна знайти окіл точки х₂ такий, що для всіх точок цього околу виконуватиметься нерівність .

Отже, функція (рис. 11.4) має мінімум в точках х₂ і х₄.

Зауваження 11.1. Функція, яка визначена на відрізку, може досягати максимальних і мінімальних значень тільки в точках, розташованих в середині цього відрізка.

Зауваження 11.2. Максимум і мінімум функції не завжди є відповідно найбільшим і найменшим значенням функції на розглядуваному відрізку.

Наприклад, функція, яка зображена на рис. 11.4, найменше значення на відрізку набуває в точці х₂ , тобто в точці мінімуму, а найбільше – в точці b, а не х₁ або х₃ .