Лекция 2 методы расчета сложных электрических цепей

2.4 Метод уравнений Кирхгофа

Метод уравнений Кирхгофа является универсальным, т.е. пригодным для задач анализа любой электрической цепи. Положим, что в схеме, содержащей B ветвей и Y узлов, заданными являются источники ЭДС и сопротивления приемников, а искомыми — токи в ветвях. Следовательно, число неизвестных равно числу ветвей, и для их нахождения необходимо иметь систему уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа, выражающему равенство нулю алгебраической суммы комплексных или мгновенных токов в узле, можно записать Y – 1 независимых уравнений.

По второму закону Кирхгофа, выражающему равенство алгебраической суммы комплексных или мгновенных ЭДС в контуре алгебраической сумме комплексных или мгновенных падений напряжений в нем, можно записать B – Y + 1 независимых уравнений.

Система, состоящая из взаимно независимых Y – 1 уравнений по первому закону Кирхгофа и B – Y + 1 уравнений по второму закону в сумме дает необходимое и достаточное число уравнений для определения токов во всех ветвях.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует обращать внимание на то, чтобы составленные уравнения были взаимно независимыми. Контуры выбирают так, чтобы в них вошли все ветви схемы, исключая лишь ветви с источниками тока, а в каждом из контуров — возможно меньшее число ветвей. Контуры взаимно независимы, если каждый последующий контур, для которого составляется уравнение, имеет не меньше одной новой ветви и не получается из контуров, для которых уже написаны уравнения, путем удаления из этих контуров общих ветвей.

При составлении уравнений рекомендуется придерживаться такой последовательности: сначала выбрать произвольные положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи, затем составить уравнения для узлов на основании первого закона Кирхгофа и уравнения для контуров на основании второго закона Кирхгофа.

В качестве примера запишем систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи, схема которой представлена на рисунке 2.15.

Рисунок 2.15 — Схема сложной электрической цепи с источником тока

Так как цепь содержит источник тока, значит ток в этой ветви известен. Следовательно, число неизвестных токов равно трем. Схема содержит два узла, поэтому по первому закону Кирхгофа необходимо составить одно уравнение, а недостающие — по второму закону Кирхгофа. При этом ток источника тока учитывается только при записи уравнения по первому закону Кирхгофа.

В итоге система уравнений имеет вид:

Подставив в систему уравнений заданные величины , , , , , , и решив ее известными методами, получают значения токов в ветвях , и . Результаты расчетов проверяют по первому закону Кирхгофа.

Пример. Определить токи в ветвях сложной цепи (рисунок 2.16) методом уравнений Кирхгофа, если R₁ = R₂ = 5 Ом; X_C₁ = 5 Ом; X_C₂ = 10 Ом; X_L₃ = 10 Ом; E₁ = 100 В; E₃ = 200 В.

Решение. Воспользуемся методикой расчета, изложенной в п. 2.4.

Выберем положительные направления токов в ветвях и укажем их на схеме (рисунок 2.9).

Рисунок 2.16 — Схема электрической цепи

Так как электрическая цепь содержит два узла и три ветви, то для решения поставленной задачи необходимо составить систему из трех уравнений: одного — по первому закону Кирхгофа и двух — по второму закону Кирхгофа. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа примем направление обхода контуров по часовой стрелке.

Таким образом, получим систему уравнений относительно неизвестных токов в комплексной форме записи:

Подставив в полученную систему уравнений известные сопротивления и ЭДС, имеем:

При решении систем уравнений целесообразно использовать стандартные программы на ЭВМ или математические методы. Для примера воспользуемся методом определителей.

Главный определитель составляем из коэффициентов при неизвестных токах:

Ом².

Вспомогательные определители получаем путем замены поочередно одного из столбцов главного определителя на столбец из свободных членов из системы уравнений: