2.3 Использование при расчете свойств электрических цепей

Теорема компенсации. Второй закон Кирхгофа определяет равенство падений напряжений и ЭДС в контуре. Любое из слагаемых падений напряжений может рассматриваться как дополнительная ЭДС, направленная навстречу току (рисунок 2.11) и может быть перенесено в другую часть уравнения с противоположным знаком.

а) б)

Рисунок 2.11 — Иллюстрация теоремы компенсации

Так, уравнение по второму закону Кирхгофа, записанное для схемы рисунка 2.11, а как: , может быть представлено в виде: . Последней записи уравнения соответствует схема рисунка 2.11, б, в которой вместо сопротивления включена ЭДС , направленная противоположно току .

На основании вышеизложенного можно сформулировать теорему компенсации: токи в электрической цепи не изменятся, если любой участок цепи заменить ЭДС, равной по величине напряжению на данном участке и направленной навстречу току, проходящему по данному участку.

Принцип наложения и метод наложения. Чтобы составить общее выражение для тока в k-ветви сложной схемы, составим уравнения по методу контурных токов, выбрав контуры так, чтобы k-ветвь входила в один k-контур (это всегда возможно).

Тогда ток в k-ветви будет равен контурному току по уравнению (2.10). Каждое слагаемое правой части уравнения (2.10) представляет собой ток, вызванный в k-ветви соответствующей контурной ЭДС. Например, есть составляющая тока k-ветви, вызванная контурной ЭДС . Каждую из контурных ЭДС можно выразить через ЭДС ветвей , , ,..., , ..., , сгруппировать коэффициенты при этих ЭДС, и получить выражение:

. (2.14)

Если контуры выбраны таким образом, что какая-либо из ЭДС, например , входит только в один m-контур и в другие контуры не входит, то .

Уравнение (2.14) выражает принцип наложения. Он заключается в том, что ток в любой сложной ветви сложной линейной цепи с несколькими ЭДС равен алгебраической сумме токов, вызванных в этой ветви каждой ЭДС в отдельности.

Принцип наложения используется в методе расчета, получившем название метода наложения.

При расчете цепей по методу наложения поступают следующим образом: поочередно рассчитывают токи от каждой из ЭДС, мысленно удаляя остальные из схемы, находят токи в ветвях путем алгебраического сложения частичных токов. Схематично процесс представлен на рисунке 2.12, где исходная схема представлена двумя схемами по принципу наложения.

Расчет сложной электрической цепи в данном случае сводится к расчету двух более простых цепей, токи в которых находят следующим образом:

; ; ;

Рисунок 2.12 — Иллюстрация метода наложения

; ; .

Для определения истинных токов в исходной схеме выберем их положительные направления произвольно. Тогда

; ; .

Теорема обратимости (или взаимности). Теорема обратимости, основанная на свойстве обратимости пассивных электрических цепей, в ряде случаев позволяет упростить расчеты. Для уяснения понятия обратимости рассмотрим схему с пассивным двухполюсником (рисунок 2.13) и с выделенными контурами i и k.

Рисунок 2.13 — Иллюстрация теоремы обратимости

ЭДС , включенная в контур i (рисунок 2.13, а), вызывает ток в контуре k

,

где — взаимная проводимость контуров k и i.

Аналогично ЭДС , включенная в контур k (рисунок 2.13, б), вызывает ток в контуре i

,

где — взаимная проводимость контуров k и i.

Отсюда следует, что

. (2.15)

Так как общие сопротивления контуров заданной цепи не изменяются от перестановки индексов, то равны между собой взаимные проводимости контуров:

. (2.16)

Электрические цепи, для которых выполняется условие (2.16), называют обратимыми цепями. Для таких цепей на основании (2.15) и (2.16) имеем:

. (2.17)

Если принять значения ЭДС и равными, то будут равны между собой и токи и .

На основании вышеизложенного теорему обратимости (или взаимности) можно сформулировать следующим образом: если некоторая ЭДС, находящаяся в какой-либо ветви данной цепи, при отсутствии прочих ЭДС, вызывает ток в другой ветви данной цепи, то та же ЭДС, будучи перенесенной во вторую ветвь, вызовет в первой ток с такими же модулем и фазой.

Замена параллельного соединения ветвей с источниками ЭДС. При расчете электрических схем значительное упрощение может дать объединение нескольких параллельных ветвей, содержащих ЭДС, в одну эквивалентную ветвь (рисунок 2.14).

а) б)

Рисунок 2.14 — Схема преобразования цепи

Между приведенными схемами электрических цепей (рисунок 2.14) будет соблюдаться принцип эквивалентности, если при любых значениях тока , подтекающего из всей остальной схемы, напряжение между зажимами a и b будет одинаковым в обеих схемах. Задача заключается в определении эквивалентных параметров (ЭДС и комплексного сопротивления ) для преобразованной схемы (рисунок 2.14, б).

По первому закону Кирхгофа для схемы (рисунок 2.14, а)

.

Соответственно, токи в ветвях

;

;

.

Следовательно,

, (2.18)

где n — число параллельных ветвей.

Ток в преобразованной цепи (рисунок 2.14, б)

. (2.19)

Чтобы уравнения (2.18) и (2.19) были равны между собой, должны быть равны коэффициенты при , т.е.

.

Но если равны вторые слагаемые уравнений, то должны быть равны и первые: .

Откуда эквивалентная ЭДС

. (2.20)

В числитель выражения (2.20) ЭДС входит со знаком «–» если она направлена к узлу b и со знаком «+» если направлена к узлу a. В цепи с источником тока эквивалентную ЭДС определяют по выражению:

. (2.21)