Лекция 4 закон ома, законы кирхгофа для цепи синусоидального тока

1.12 Синусоидальный ток в цепи с последовательным соединением активного, индуктивного и емкостного элементов

Пусть в ветви, состоящей из последовательно соединенных активного R, индуктивного L и емкостного C элементов, т.е. в последовательном контуре, или, коротко, RLC-цепи (рисунок 1.34), ток изменяется по синусоидальному закону

i = I_msin(ωt + ψ_i). (1.57)

На выводах этой цепи создается синусоидальное напряжение, равное алгебраической сумме синусоидальных напряжений на отдельных элементах в соответствии со вторым законом Кирхгофа:

. (1.58)

Рисунок 1.34 — Схема последовательного контура

Напряжение u_R на сопротивлении R совпадает по фазе с током i:

u_R = Ri = RI_msin(ωt + ψ_i). (1.59)

Напряжение u_L на индуктивности L опережает ток i на угол π/2:

u_L = L = ωLI_mcos(ωt + ψ_i) = ωLI_msin(ωt + ψ_i+ ), (1.60)

а напряжение u_C на емкости C отстает по фазе от тока i на угол π/2:

u_C = cos(ωt + ψ_i) = sin(ωt + ψ_i+ ). (1.61)

На рисунке 1.35 показаны мгновенные значения тока в цепи и напряжений на отдельных ее элементах. Здесь имеет место случай, когда начальная фаза тока ψ_i > 0, а амплитуда напряжения на индуктивности больше амплитуды напряжения на емкости, т.е. индуктивное сопротивление X_L больше X_C. Как видно, напряжения на емкости и на индуктивности сдвинуты относительно друг друга по фазе на угол π, т.е. находятся в противофазе.

Рисунок 1.35 — Кривая мгновенных значений тока и напряжений в RLC-цепи

В соответствии с (1.58) ординаты кривой напряжения u = U_msin(ωt + ψ_u) равны алгебраической сумме ординат кривых u_R, u_L, u_C:

U_msin(ωt + ψ_u) = RI_msin(ωt + ψ_i) + ωLI_mcos(ωt + ψ_i) – cos(ωt + ψ_i)=

= RI_msin(ωt + ψ_i) + (ωL – )I_mcos(ωt + ψ_i). (1.62)

Уравнение (1.62) представляет собой тригонометрическую форму записи второго закона Кирхгофа для мгновенных напряжений. Входящую в него величину

X = XL – XC = ωL – (1.63)

называют реактивным сопротивлением цепи. В зависимости от знака реактивное сопротивление может иметь индуктивный (X > 0) или емкостный (X < 0) характер.

Определение напряжения u сводится к вычислению амплитуды U_m и начальной фазы ψ_u. Для упрощения запишем уравнение (1.62), приняв ψ_i = 0. Тогда ψ_u = φ.

U_msin(ωt + φ) = RI_msinωt + XI_mcosωt = I_m (Rsinωt + Xcosωt). (1.64)

Воспользовавшись тригонометрическими соотношениями вида:

;

φ = arctg ,

получим расчетные выражения для вычисления U_m и ψ_u:

, (1.65)

φ = arctg . (1.66)

Соотношение (1.65) аналогично закону Ома. Связь между амплитудными и, соответственно, действующими значениями напряжения и тока в RLC-цепи имеет вид:

; , (1.67)

где , (1.68)

называют полным сопротивлением цепи.

Активное, реактивное и полное сопротивления относятся к числу основных понятий теории электрических цепей.

Если известно напряжение u = U_msin(ωt + ψ_u) на выводах RLC-цепи, то ток определяют по формуле:

i = sin(ωt + ψ_u – φ). (1.69)

Задача расчета RLC-цепи решается проще комплексным методом.

Представим ток и падения напряжений на всех элементах цепи в комплексном виде, используя выражения их мгновенных значений, и запишем уравнение второго закона Кирхгофа (1.38) в комплексной форме:

, (1.70)

или

. (1.71)

Соотношение (1.71) между комплексным напряжением и током называют законом Ома в комплексной форме.

Запишем комплексные величины уравнения (1.70) в показательной форме:

,

где .

Комплексные числа равны, если равны их модули и аргументы.

Значит,

U = I , (1.72)

ψ_u = ψ_i + φ. (1.73)

Уравнение (1.72) представляет собой выражение закона Ома для действующих значений напряжения и тока в цепи.

Так как и , то

U_m = I_m . (1.74)

Таким образом, амплитуда и начальная фаза ψ_u напряжения на выводах RLC-цепи определены, и можно записать выражение для мгновенного напряжения:

u = U_msin(ωt + ψ_i + φ). (1.75)

Векторная диаграмма RLC-цепи, построенная в соответствии с уравнением второго закона Кирхгофа (1.70), представлена на рисунке 1.36. Первым построен вектор тока I, затем совпадающий по фазе с током вектор напряжения . Вектор опережает по фазе ток на π/2, а вектор напряжения отстает по фазе от тока на угол π/2. Вектор напряжения получен как векторная сумма векторов , и .

Следует отметить, что уравнения для комплексных напряжений и токов и векторные диаграммы взаимно связаны. Уравнения на основе первого и второго законов Кирхгофа в комплексной форме можно рассматривать как запись геометрических суммирований векторов на векторной диаграмме, и наоборот, векторную диаграмму необходимо рассматривать как графическое представление соотношений между комплексными величинами в уравнении.

Рисунок 1.36 — Векторная диаграмма RLC-цепи

Комплексное сопротивление, треугольник сопротивлений

Отношение комплексного напряжения к комплексному току

(1.76)

называют комплексным сопротивлением. Для цепи с последовательным соединением R, L, C комплексное сопротивление

Z = R + jωL – j , (1.77)

или в других формах:

, (1.78)

где R — активное сопротивление (действительная часть комплексного сопротивления);

X — реактивное сопротивление (коэффициент при мнимой части комплексного сопротивления).

Если X = ωL – > 0, то преобладает индуктивное сопротивление, если X < 0, то преобладает емкостное сопротивление.

Очевидно, что полное сопротивление

(1.79)

представляет собой модуль комплексного сопротивления. Аргумент комплексного сопротивления, равный разности начальных фаз напряжения и тока, т.е. φ = ψ_u – ψ_i, может быть определен как

φ = arctg . (1.80)

Расчетные уравнения по определению комплексного и полного сопротивлений при различных схемах участка цепи приведены в таблице 1.2.

Так как модуль комплексного сопротивления , то на комплексной плоскости Z можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника — треугольника сопротивлений (рисунок 1.37), у которого катетами являются активное R и реактивное X сопротивления.

Треугольник сопротивлений представляет собой геометрическую интерпретацию уравнения (1.78). Сопротивление R откладывают на комплексной плоскости в положительном направлении действительной оси, а реактивное сопротивление X в зависимости от его знака откладывают в положительном (рисунок 1.37, а) или отрицательном (рисунок 1.37, б) направлении мнимой оси.

Таблица 1.2 — Примеры расчетных уравнений по определению сопротивлений

Схема участка цепи	Комплексное сопротивление	Полное сопротивление
	Z = jωL = jXL	Z = ωL = XL
	Z = –j = –jXC	Z = = XC
	Z = R + jωL = = R + jXL
	Z = R –j = = R –jXC

а) б)

Рисунок 1.37— Треугольник сопротивлений на комплексной плоскости при X > 0 (а) и X < 0 (б)

Рисунок 1.38 — Треугольник сопротивлений

В соответствии с уравнением (1.79) полное сопротивление Z также можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника (рисунок 1.38), у которого катетами являются активное R и реактивное X сопротивления.

Очевидно, что R = Zcosφ и X = Zsincosφ.

Комплексная проводимость, треугольник проводимостей

Комплексной проводимостью называют отношение комплексного тока к комплексному напряжению:

(1.81)

где — величина, обратная полному сопротивлению, называется полной проводимостью. Комплексная и полная проводимости измеряются в сименсах (См).

Комплексная проводимость представляет собой величину, обратную комплексному сопротивлению, что следует из уравнения (1.81). Поэтому ее можно представить иначе:

(1.82)

В уравнениях (1.81) и (1.82) — действительную часть комплексной проводимости — называют активной составляющей комплексной проводимости, или, короче, активной проводимостью.

— коэффициент при мнимой части, называет реактивной составляющей комплексной проводимости, или, короче, реактивной проводимостью.

Очевидно, что полная проводимость

(1.83)

представляет собой модуль комплексной проводимости. Аргумент комплексной проводимости, равный разности начальных фаз напряжения и тока, т.е. φ = ψ_u – ψ_i, может быть также определен по уравнению (1.80).

Треугольник проводимостей (рисунок 1.39) представляет собой геометрическую интерпретацию уравнения (1.81). Активную проводимость g откладывают на комплексной плоскости в положительном направлении действительной оси, а реактивную проводимость b, в зависимости от ее знака, откладывают в отрицательном (рисунок 1.39, а) или положительном (рисунок 1.39, б) направлении мнимой оси.

В соответствии с уравнением (1.83) полную проводимость y также можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника (рисунок 1.40) с катетами g и b.

Очевидно, что и .

а) б)

Рисунок 1.39 — Треугольник проводимостей на комплексной плоскости при (а) и (б)

Рисунок 1.40 — Треугольник проводимостей