1.10 Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами и комплексными числами. Векторные диаграммы

Тригонометрическая форма представления синусоидально изменяющихся величин, рассмотренная нами, практически применима только для простейших электрических цепей, не содержащих большого числа контуров, источников, взаимных индуктивностей и т.п.

Расчет цепей переменного тока облегчается, если изображать синусоидальные величины векторами или комплексными числами.

Пусть i = I_msin(ωt + ψ_i).

В прямоугольной системе координат вектор , длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде тока, расположим под углом ψ_i (рисунок 1.21).

Отметим, что положительные углы ψ_i отсчитываются против часовой стрелки, отрицательные — по часовой стрелке. Представим, что вектор с момента времени t = 0 начинает вращаться вокруг начала координат против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте ω.

Рисунок 1.21 — Вектор, изображающий комплексное число

В момент времени t вектор составит с горизонтальной осью угол ωt + ψ_i. Его проекция на вертикальную ось равна I_msin(ωt + ψ_i), т.е. соответствует мгновенному значению тока i.

Таким образом, между вектором и мгновенным значением тока i можно установить однозначную связь. Длина вектора в масштабе равна амплитуде тока I_m, угол наклона к горизонтальной оси дает начальную фазу ψ_i, а проекция на вертикальную ось при вращении вектора с угловой скоростью ω дает мгновенное значение тока i. На этом основании вектор называют вектором, изображающим ток i, или, коротко, вектором тока.

Если считать горизонтальную ось осью вещественных чисел, а вертикальную — осью мнимых чисел, то вектор может быть записан комплексным числом.

Введем понятие «комплексная амплитуда тока».

Комплексная амплитуда тока есть комплексное число, изображающее синусоидальный ток при t = 0, модуль этого числа равен амплитуде тока I_m, а аргумент — начальной фазе ψ_i.

Комплексная амплитуда тока, как и комплексное число, может быть записано в различных формах: показательной, тригонометрической, алгебраической, полярной.

В показательной форме комплексная амплитуда тока

, (1.36)

В полярной форме комплексная амплитуда тока

,

где I_m — амплитуда тока или модуль комплексного числа;

ψ_i — начальная фаза тока или аргумент комплексного числа;

e — основание натурального логарифма;

j = — мнимое число.

Величину называют оператором поворота. Умножение комплексной амплитуды на или на означает поворот вектора на угол ψ_i или ωt в положительном направлении.

Переход к тригонометрической форме записи комплексного числа осуществляют с помощью формулы Эйлера:

. (1.37)

Вычислив значения и , получим алгебраическую форму комплексного числа:

, (1.38)

где a = — действительная часть комплексного числа или

проекция вектора на ось действительных чисел;

b = — коэффициент при мнимой части комплексного

числа или проекция вектора проекция вектора

на ось мнимых чисел.

Переход от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной осуществляют в такой последовательности. Если дана комплексная амплитуда тока в виде: , — то определяют модуль числа и аргумент . Значит, в показательной форме получим .

Аналогично приведенным записям для тока могут быть представлены в четырех формах комплексные амплитуды напряжения и ЭДС .

Буквенные обозначения синусоидально изменяющихся величин приведены в таблице 1.1

Таблица 1.1 — Буквенные обозначения синусоидально

изменяющихся величин

Обозначения	Название
i, u, e	мгновенные значения (соответственно, тока, напряжения, ЭДС)
Im, Um, Em	амплитудные значения
I, U, E	действующие значения
, ,	комплексные амплитуды
, ,	комплексные действующие значения

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении синусоидальных функций времени комплексными числами, называют методом комплексных величин, или символическим методом. Символический (комплексный) метод был предложен в 1893–1894 гг. Ч. П. Штейнметцем и А. Е. Кеннели.

В качестве примера представим в показательной, тригонометрической, алгебраической формах и изобразим вектором напряжение u = 20sin(ωt + 30°) на комплексной плоскости:

а) показательная: ;

б) тригонометрическая:

;

в) алгебраическая:

.

Изображение синусоидальной функции вектором на комплексной плоскости показано на рисунке 1.22. Если величина задана в алгебраической форме, например, напряжение  В, то, чтобы выразить его в показательной, определим амплитуду:

В

и начальную фазу:

,

тогда .

Рисунок 1.22 — Вектор комплексной амплитуды напряжения

Векторной диаграммой называют совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся функции времени одной и той же частоты и построенных с соблюдением правильной ориентации их относительно друг друга по фазе.

Для построения векторной диаграммы составляют уравнения по первому или второму закону Кирхгофа. Соответственно различают векторные диаграммы токов и векторные диаграммы напряжений. Векторная диаграмма токов представляет собой совокупность векторов в соответствии с первым законом Кирхгофа, а векторная диаграмма напряжений — со вторым законом Кирхгофа.

Векторы рисуют, как правило, для комплексных действующих значений токов и напряжений, т.к. в основном оперируют действующими значениями. Именно действующие значения измеряют и соответствующие приборы.

Часто векторные диаграммы строят не в осях координат, а относительно какого-либо вектора, принятого за основной (базовый). В этом случае при рассмотрении установившихся синусоидальных процессов начальную фазу одной из величин можно выбрать произвольно, поэтому произвольно может быть расположен в начальный момент вектор, изображающий эту величину. Векторы всех остальных величин при этом должны быть повернуты по отношению к нему на углы, равные сдвигу фаз.

Алгебраические действия с синусоидальными функциями времени

При исследовании цепей синусоидального тока возникает необходимость алгебраически суммировать гармонические функции времени одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами, умножать одну на другую или выполнять операцию деления. Непосредственно такие операции с синусоидами связаны с громоздкими и трудоемкими тригонометрическими преобразованиями. Значительно проще эта задача решается графически при помощи векторной диаграммы или аналитически путем суммирования комплексных амплитуд.

Пусть требуется суммировать две гармонические функции с одинаковой частотой i₁ = I_m1sin(ωt + ψ₁) и i₂ = I_m2sin(ωt + ψ₂).

Суммарный ток i = i₁ + i₂= I_msin(ωt + ψ).

Требуется определить амплитуду I_m и начальную фазу ψ тока i.

С этой целью изобразим на комплексной плоскости (рисунок1.23) ток i₁ вектором , а ток i₂ — вектором .

Геометрическая сумма векторов и даст комплексную амплитуду суммарного тока . Амплитуда тока будет определяться длиной суммарного вектора, а начальная фаза ψ — углом, образованным этим вектором и осью +1.

Рисунок 1.23 — Векторная диаграмма токов

Для определения разности двух функций надо на комплексной плоскости произвести не сложение, а вычитание соответствующих векторов. Вектор, равный разности двух векторов, соединяет концы векторов и направлен к уменьшаемому.

Пример 1. Определить ток i₃ = i₁ + i₂, если i₁ = 20sin(ωt + 30°), i₂ = 40sin(ωt + 60°).

Решение. Проведем сложение с помощью векторов на комплексной плоскости (рисунок 1.24). Для этого выбираем масштаб тока и откладываем векторы в масштабе на комплексной плоскости.

Для аналитического сложения запишем комплексные амплитуды токов:

А;

А.

Значит, А.

Чтобы записать мгновенное значение тока , определим амплитуду:

 А,

— и начальную фазу: .

Тогда i₃ = 58sin(ωt + 50°).

Рисунок 1.24 — Сложение векторов

Рисунок 1.25 — Вычитание векторов

Пример 2. Определить ток i₃ = i₁ – i₂ по условию примера 1.

Решение: Выполним вычитание вектора сначала графически на комплексной плоскости (см. рисунок 1.25), а затем аналитически. Графически легко эту операцию выполнить, изобразив вектор , т.е. вектор повернуть на 180° и сложить его ( ) с вектором . В результате получили вектор .

Вычитание аналитически:

А.

Амплитуда А.

Начальная фаза , так как вектор находится в 3-й четверти.

Значит, i₃ = 24,7sin(ωt + 95°10').

В выражениях синусоидальных функций времени часто имеются составляющие в виде векторов, умноженных на j или на –j, например или . При построении векторной диаграммы следует учитывать, что умножение вектора на j равносильно повороту этого вектора на 90° в сторону опережения (против часовой стрелки), а при умножении на –j получается вектор, повернутый на 90° в сторону отставания (по часовой стрелке). Для подтверждения представим векторы j и –j в показательной форме:

; ,

или, наоборот, представим операторы и в тригонометрической и алгебраической формах:

;

.

В качестве примера вектор умножим на j и на –j и покажем их расположение на векторной диаграмме (рисунок 1.26).

Рисунок 1.26 — Расположение вектора при умножении на +j и на –j