Контрольные вопросы:

1. Вариация признаков и ее сущность.

2. Абсолютные показатели вариации.

3. Свойства дисперсии. Расчет дисперсии способом моментов.

4. Относительные показатели вариации.

5. Использование показателей вариации в статистическом анализе.

6. Определите предельные значения дисперсии альтернативного признака.

Тема 1.10. Ряды динамики и их классификация. Показатели рядов динамики. Средние показатели рядов динамики

Изменения социально-экономических явлений во времени изучается при помощи построения и анализа рядов динамики.

Ряд динамики – это числовые значения статистического показателя, представленные во временной последовательности.

Ряд динамики состоит из двух граф: в первой - указываются периоды или даты, во второй - показатели характеризующие изучаемый объект за эти периоды (или на эти даты). Показатели второй графы называются уровнем ряда. Первый показатель – называется начальным уровнем, последующий – конечным.

Уровни ряда могут быть выражены абсолютными, относительными и средними величинами.

Ряды динамики относительных и средних величин строятся на основе рядов абсолютных величин.

Ряды динамики могут быть двух видов:

● интервальные

● моментные

В интервальном ряду приводятся данные, характеризующие величину показателя за определенный период (сутки, месяц, квартал, год и т.д.)

Особенность интервальных рядов состоит в том, что их уровни можно суммировать, получая новые числовые значения объема явления, относящиеся к более длительным периодам.

В моментном ряду динамики приводятся данные характеризующие размеры явления на определенные моменты (даты) времени.

Уровни моментных явлений суммировать нельзя, сумма не имеет смысла, т.к. каждый последующий уровень полностью или частично включает в себя предыдущий уровень.

Однако разность уровней имеет смысл, характеризуя увеличение или уменьшение уровня ряда между датами учета.

Пример 1: Имеются данные о выпуске книг и брошюр в Р.Ф. (тыс. печатных единиц).

Годы	2002	2003	2004	2005	2006
Тыс. печ.ед.	41,2	34,0	28,7	29,0	30,4

Это интервальный ряд динамики абсолютных величин. Его уровни характеризуют суммарный итог выпуска книг и брошюр за четко определенный отрезок времени (за каждый год).

Уровни интервального ряда динамики могут быть суммированы, т.к. не содержат повторного счета.

Уровни ряда динамики должны быть сопоставимы с точки зрения единиц измерения, объекта и единицы наблюдения, методологии расчета изучаемого показателя, территории, к которой относится показатель, продолжительности периодов, к которым относятся уровни ряда.

Показатели ряда динамики

Для изучения интенсивности изменения уровней ряда во времени исчисляются следующие показатели динамики:

Абсолютный прирост

Коэффициент роста

Темп роста

Темп прироста

Абсолютные значения 1% прироста

Эти показатели можно исчислять с переменной и постоянной базой.

Если производится сравнение каждого уровня с предыдущим уровнем, то получаются показатели динамики с переменной базой (цепные показатели динамики).

Если каждый уровень сравнивается с начальным уровнем или каким-то другим, принятым за базу сравнения, то получаются показатели динамики с постоянной базой (базисные показатели динамики)

Методы расчета показателей динамики одинаковы для моментных и интервальных рядов.

Условные обозначения:

Y_i – уровень любого периода (кроме первого) называемый уровнем текущего периода.

Y _i-1 – уровень периода предшествующего текущему.

Y_k – уровень принятый за постоянную базу сравнения (начальный уровень).

Наименование показателя	Метод расчета
	С переменной базой (цепные)	С постоянной базой (базисные)
1. Абсолютный прирост (∆)	∆= Yi – Y i-1	∆’ =Yi - Yk
2. Коэффициент роста (Кр)	Kp=Yi / Y i-1	Kp’=Yi/Yk
3. Темп роста (Тр) %	Tp= Кp-100	Tp’=Kp’-100
4. Темп прироста (Тn) %	Tn=(Кp-1)·100 Tn=Tp-100 Tn=(∆ / Y i-1 )·100%	Tn’=(Kp’-1)·100 Tn’=Tp’-100 Tn’=(∆’ / Yk)·100
5. Абсолютное значение 1% прироста (А)	A=∆ / Tn A=Y i-1 / 100	A’=∆’ / Tn’ A’=Yk /100

Для характеристики интенсивности развития за длительный период рассчитываются средние показатели динамики.

Средние показатели динамики

Условные обозначения:

Y1, Y2, … Yn – все уровни последовательных периодов;

n – число уровней ряда;

t – продолжительность периода, в течение которого уровень не изменялся;

Наименование показателя	Метод расчета
1. Средний уровень ряда y а) для интервального ряда	Y=Σ y / n
б) для моментального ряда с равными интервалами.	Y = (½Y1 + Y2 + …Yn-1 + ½ Yn) / n-1
в) для моментального ряда с неравными интервалами	Y= Σ Y·t / Σ t
2.Средний абсолютный прирост ∆	∆=Σ ∆ / n-1 ∆= Yn-Y1 / n-1
3.Средний коэффициент роста Кр	K p= n-1√Kp1 · Kp2 · … · Kpn-1 Kp= n-1√Yn / Y1
4.Средний темп роста Тр %	Tp = Kp·100%
5.Средний темп прироста Тn %	Tn = Tp –100% T n = (Kp-1)·100%
6.Среднее абсолютное значение 1% прироста А	А= ∆ / Тn

Пример 2. Проанализируем следующий ряд динамики, отражающий поступления выручки зрелищных предприятий города в отделение банка за четыре года (млн. руб.).

Показатель	Годы
	1	2	3	4
Поступления выручки зрелищных предприятий, млн. руб.	192,8	196,5	203,1	206,8

Рассчитаем средний уровень данного интервального ряда динамики по формуле:

,

где y₁, y₂, ¼, y_n – уровни ряда;

n – число уровней ряда.

Основными показателями, характеризующими изменение уровней ряда динамики, являются абсолютные приросты, темпы роста и прироста. При этом различают цепные, базисные и средние показатели. Проведем их расчет.

1. Цепные абсолютные приросты (D_{i ц}):

для второго года D_{1 ц} = 196,5 – 192,8 = 3,7 млн. руб.,

для третьего года D_{2 ц} = 203,3 – 196,5 = 6,6 млн. руб.,

для четвертого года D_{3 ц} = 206,6 – 203,1 = 3,5 млн. руб.

2. Базисные абсолютные приросты (D_{i б}):

(если первый уровень ряда принят в качестве базисного)

для второго года D_{1 б} = 196,5 – 192,8 = 3,7 млн. руб.,

для третьего года D_{2 б} = 203,3 – 192,8 =10,3 млн. руб.,

для четвертого года D_{3 б} = 206,6 – 192,8 =13,8 млн. руб.

3. Средний абсолютный прирост ( ):

(в среднем ежегодно выручка зрелищных предприятий города увеличивалась на 4,6 млн. руб.).

Этот показатель можно рассчитать иначе:

,

где m – число цепных абсолютных приростов (m = n – 1).

4. Цепные темпы роста:

для второго года ,

для третьего года ,

для четвертого года .

5. Базисные темпы роста:

,

(если первый уровень ряда принят в качестве базисного).

для второго года ,

для третьего года ,

для четвертого года .

6. Средний темп роста:

или

(в среднем ежегодно выручка зрелищных предприятий города увеличивалась в 1,023 раза).

7. Цепные темпы прироста:

,

для второго года ,

для третьего года ,

для четвертого года .

8. Базисные темпы прироста:

,

для второго года ,

для третьего года ,

для четвертого года .

9. Абсолютное значение одного процента прироста:

,

для второго года .,

для третьего года .,

для четвертого года .

Для выявления основной тенденции развития изучаемого явления во времени применяются следующие методы преобразования динамических рядов:

- механическое сглаживание по скользящим средним;

- аналитическое выравнивание.

Пример 3. Пусть известно распределение поступлений выручки зрелищных предприятий города за рассматриваемый период по месяцам каждого года. Проведем механическое сглаживание ряда способом скользящей средней по трем членам.

Исходные данные		Расчетные данные
Месяц	Поступления выручки зрелищных предприятий города, млн. руб.	Скользящая сумма трех членов	Скользящая средняя (расчетные уровни ряда)
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь	18,4 15,2 17,2 14,9 16,8 18,5 17,7 17,9 16,9 16,3 17,9 19,0	– 50,8 47,3 48,9 50,2 53,0 54,1 53,5 52,5 51,1 53,2 –	– 16,9 15,8 16,3 16,7 17,7 18,0 17,5 17,5 17,0 17,7 –

Рассмотрим теперь метод аналитического выравнивания по прямой для выявления тенденции изменения поступления выручки зрелищных предприятий города. В отличие от предыдущего способа выравнивания ряда динамики, метод аналитического выравнивания позволяет получить математическое выражение закономерности развития явления. Для выравнивания ряда по прямой используют уравнение , параметры которого и находятся путем решения системы нормальных линейных уравнений:

Для упрощения расчетов показателям времени t придают такие значения, чтобы их сумма была равна нулю (åt = 0). В этом случае система уравнений примет вид:

отсюда

Проведем расчет необходимых промежуточных показателей для нашего примера.

Месяц	Условное обозначение времени t	Поступления выручки зрелищных предприятий города, млн руб. y	t2	yt
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь	–11 –9 –7 –5 –3 –1 +1 +3 +5 +7 +9 +11	18,4 15,2 17,2 14,9 16,8 18,5 17,7 17,9 16,9 16,3 17,9 19,0	121 81 49 25 9 1 1 9 25 49 81 121	–202,4 –136,8 –120,4 –74,5 –50,4 –18,5 +17,7 +53,7 +84,5 +114,1 +161,9 +209,0
Итого:	åt = 0	åy = 206,7	åt2 = 572	åyt = 37,1

Определим параметры уравнения:

Таким образом, получаем следующее математическое выражение общей тенденции ряда динамики:

.

Подставляя в это уравнение принятые обозначения времени t, определим выровненные уровни ряда динамики:

Месяц	Условное обозна-чение времени t	Поступления выручки зре-лищных пред-приятий города, млн руб. y
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь	–11 –9 –7 –5 –3 –1 +1 +3 +5 +7 +9 +11	18,4 15,2 17,2 14,9 16,8 18,5 17,7 17,9 16,9 16,3 17,9 19,0	16,6 16,6 16,7 16,9 17,0 17,1 17,3 17,4 17,5 17,7 17,8 17,9

Используя это уравнение, можно провести экстраполяцию ряда динамики. Например, определим предполагаемое поступление выручки в отделения банка в январе следующего года.

Одна из важнейших задач при анализе рядов динамики – измерение "сезонной волны". Для количественной оценки сезонных колебаний тех или иных показателей используются индексы сезонности. Дополним наш пример месячными данными за первые три года. Прежде всего для каждого месяца i исчисляется средний уровень по данным за несколько лет. Индексы сезонности определяются, как процентное отношение этих среднемесячных уровней к общему среднему уровню , исчисленному для всего ряда динамики в целом:

.

Исходные данные и результаты расчетов приведены в следующей таблице:

Месяц	Поступления выручки зрелищных предприятий, млн. руб.					Индексы сезонности
	1-й год	2-й год	3-й год	4-й год	в среднем за 4 года
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь	17,2 16,1 16,4 15,6 15,8 15,5 15,1 15,8 15,0 15,5 16,8 18,0	17,5 16,6 16,7 16,0 16,0 15,6 15,6 16,0 15,3 15,8 17,0 18,4	17,3 16,2 16,3 16,8 16,0 18,3 17,1 16,6 15,5 16,4 17,9 18,7	18,4 15,2 17,2 14,9 16,8 18,5 17,7 17,9 16,9 16,3 17,9 19,0	17,6 16,0 16,6 15,8 16,1 17,0 16,4 16,6 15,7 16,0 17,4 19,5	106,0 96,4 100,0 95,2 97,0 102,4 98,8 100,0 94,6 96,4 104,8 111,4
Средний уровень ряда	16,1	16,4	16,9	17,2	16,6

Мы рассмотрели интервальный ряд динамики. В моментных рядах динамики средний уровень ряда рассчитывается иначе. Пусть имеются следующие данные о численности населения города, тыс. чел.:

на 1 января 2006 г. на 1 апреля 2006 г. на 1 июля 2006 г. на 1 сентября 2006 г. на 1 января 2007 г.

500,0, 500,2, 500,6, 500,8, 500,9.

Приближенную оценку средней численности населения города можно получить, используя только данные о численности населения на начало и конец года.

тыс. чел.

Более точную оценку средней численности населения мы получим, если будем использовать все имеющиеся данные. Поскольку промежутки времени между соседними датами равны, воспользуемся формулой средней хронологической простой:

тыс. чел.

В моментных рядах динамики с неравными интервалами средний уровень исчисляется по формуле средней хронологической взвешенной:

,

где t_i – длина периода между двумя соседними датами, к которым относятся уровни y_i и y_i+1.

Контрольные вопросы: 

1. Дайте определение ряда динамики социально-экономических явлений.

2. Какие вы знаете виды рядов динамики?

3. Как проводится расчет среднего уровня в рядах динамики?

4. Какие показатели изменения уровней рядов динамики вы знаете?

5. Для каких целей и какими методами проводится выравнивание рядов динамики?

6. С помощью, каких методов может проводиться прогнозирование социально-экономических явлений?

7. Какие методы статистического изучения сезонных колебаний вы знаете?

8. Укажите, к какому виду относятся ряды, характеризующие динамику следующих показателей:

1) затраты на мероприятия по охране труда по годам;

2) численность рабочих и служащих отрасли по состоянию на начало каждого квартала;

3) стоимость производственных фондов предприятия по состоянию на начало каждого месяца;

4) ввод в действие жилых домов по кварталам года;

5) поставки тракторов сельскому хозяйству по годам;

6) средняя месячная заработная плата рабочих и служащих в народном хозяйстве по месяцам года;

7) урожайность сельскохозяйственных культур по годам;

8) производство продукции на душу населения по годам;

9) средний размер вкладов в отделениях банка по состоянию на конец каждого месяца;

10) ежедневный объем поставок продукции;

11) ежедневный остаток товаров в магазине.

Тема:1.11. Экономические индексы: общие понятия об индексах и значение индексного метода

Индекс – это относительная величина, которая выражает соотношение величин социально-экономических явлений и используется при решении таких задач, как

- сравнение уровней социально-экономических явлений во времени и пространстве;

- выявление роли отдельных факторов, оказывающих влияние на изучаемое явление.

Величина, изменение которой изучается в отдельном конкретном случае с помощью индекса, называется индексируемой величиной.

Для удобства в теории статистики принята следующая система обозначений:

– количество единиц данного вида продукции (товаров);

– цена единицы продукции (товаров);

– себестоимость единицы продукции;

– затраты рабочего времени на единицу продукции (трудоемкость);

– количество продукции, выработанной в единицу времени одним работником (производительность труда);

Т₁ и Т₀ – затраты труда на производство продукции (Т = t ´ q).

Обозначения "0" и "1" показывают временной период. Период времени, по отношению к которому производят сравнение, называют базисным и обозначают через "0", а тот период, который сравнивают с базисным, – отчетным и обозначают его через "1".

Способ построения индексов зависит от содержания изучаемых явлений, методологии расчета исходных статистических показателей и целей исследования. Индексы можно классифицировать по: степени охвата элементов изучаемой совокупности; содержанию и характеру индексируемой величины; методологии их расчета.

По степени охвата элементов изучаемой совокупности различают: индивидуальные индексы и сводные (общие) индексы. Индивидуальный индекс (i) –это относительный показатель, отражающий изменение отдельного элемента сложного экономического явления. В числителе индивидуального индекса – значение индексируемой величины в текущем периоде, а в знаменателе – в базисном периоде. Приведем формулы некоторых индивидуальных индексов.

1. Индивидуальный индекс цен: .

2. Индивидуальный индекс себестоимости: .

3. Индивидуальный индекс производительности труда: .

4. Индивидуальный индекс трудоемкости: .

Пример 1. В третьем квартале предприятие произвело 1220 штук изделия "А", а в четвертом – 1300 штук. Индивидуальный индекс физического объема продукции рассчитывается следующим образом:

.

Объем производства продукции "А" в четвертом квартале по сравнению с третьим возрос на 6,5%.

Сводный (общий) индекс (I) выражает соотношение уровней сложного экономического явления, состоящего из элементов непосредственно несоизмеримых. Основной формулой для расчета сводного индекса является агрегатная формула, в которой с помощью весов индекса несоизмеримые величины приводятся к сопоставимому виду.

В формуле агрегатного индекса присутствует два элемента:

- индексируемая величина, изменение которой показывает индекс;

- некоторая постоянная величина, называемая весом или соизмерителем.

В зависимости от содержания и характера индексируемой величины различают: индексы количественных (объемных) показателей и индексы качественных показателей.

Необходимость построения индексов количественных показателей возникает в том случае, когда итоги по отдельным элементам сложного явления непосредственно несоизмеримы. Например, если имеются данные о выпуске предприятием разнородной продукции в натуральном выражении, то динамику выпуска продукции в целом нельзя охарактеризовать отношением . Для сравнения объемов выпуска разных видов продукции в отчетном и базисном периодах необходимо привести данные к единой, общей мере (например, использовать стоимостную оценку продукции). Тогда вместо åq получим åpq, где p – цена единицы продукции данного вида. Умножая цену на количество выпущенной продукции и суммируя произведения, получаем общий объем выпущенной продукции.

Выбор соизмерителя зависит от имеющейся исходной информации и от цели исследования. Универсальное значение имеют стоимостные соизмерители.

При построении индексов объемных (количественных) показателей следует руководствоваться следующим правилом: в качестве соизмерителя принимаются те или иные качественные показатели, зафиксированные, как правило, на уровне базисного периода.

Пример 2. В первом квартале производство продукции характеризуется следующими данными:

 

Вид продукции	Количество выпущенной продукции, шт. (q)		Цена единицы продукции в базисном периоде, руб. (p0)
	Базисный год	Отчетный год
1	750	840	375
2	2250	2700	240
3	1500	1860	405
4	1200	1400	520

Агрегатный индекс физического объема продукции рассчитывается следующим образом:

,

или 119%.

Объем произведенной продукции возрос в отчетном периоде на 19%. В этом показателе индексируемой величиной является количество произведенной продукции, а весами – цены базисного периода.

Если разделить стоимость продукции отчетного периода (åp₁q₁) на стоимость продукции базисного периода (åp₀q₀), то получим индекс стоимости продукции:

Этот индекс характеризует изменение стоимости продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным под влиянием двух факторов: изменения уровня цен и объема произведенной продукции.

Пример 3. По предприятию имеются следующие данные о производстве продукции:

Вид продукции	Произведено, штук (q)		Цена за 1 шт., тыс. руб. (p)
	первое полугодие	второе полугодие	первое полугодие	второе полугодие
1	1250	1400	6,0	6,25
2	3750	4500	4,5	4,00
3	2500	3100	7,0	6,75

Рассчитаем индивидуальные и общий индексы стоимости продукции:

, или 117%,

, или 107%,

или 120%,

или 114%.

Общее изменение стоимости продукции в абсолютном выражении можно вычислить как разность между числителем и знаменателем индекса стоимости:

D pq = åp₁q₁ - å p₀q₀ = 47675 - 41875 = 5800 тыс. руб.

Исходя из того, что на общее изменение стоимости продукции влияют два основных фактора: количество произведенной продукции и цена за единицу продукции, построим индексную модель, отражающую связь этих показателей:

I_pq = I_q × I_p ,

.

Рассчитаем влияние этих факторов в абсолютном и относительном выражении.

1. Изменение стоимости продукции за счет изменения количества выпущенной продукции покажет индекс физического объема продукции

, или 120%.

D pq^q = åq₁p₀ - åq₀p₀ = 50350 - 41875 = 8475 тыс. руб.

2. Изменение стоимости продукции за счет изменения цен на произведенную продукцию покажет индекс цен:

, или 95%.

D pq^p = å p₁q₁ - å p₀q₁ = 47675 - 50350 = –2675 тыс. руб.

Проверим взаимосвязь исчисленных показателей:

I_pq = I_q × I_p = 1,2 × 0,95 = 1,14

Dpq = D q^q + Dpq^p = 8475 - 2675 = 5800 тыс. руб.

Во втором полугодии стоимость продукции возросла на 14% , что составило 5800 тыс. руб., в том числе за счет увеличения выпуска продукции на 20% или на 8475 тыс. руб. Снижение уровня цен повлекло за собой уменьшение стоимости продукции на 5% или 2675 тыс. руб.

Принципы построения индексов качественных показателей рассмотрим на примере расчета индексов себестоимости продукции.

Себестоимость единицы продукции (z) определяется как отношение суммы затрат на производство данного вида продукции (zq) к количеству выпущенной продукции (q).

Индивидуальный индекс себестоимости характеризует изменение уровня себестоимости единицы какого-либо вида продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным и вычисляется по формуле:

.

Сумму экономии (перерасхода) средств от снижения (увеличения) себестоимости данного вида продукции определяется по формуле:

Э (П) ^z = (z₁ - z₀) ×q₁.

Общий индекс себестоимости показывает изменение общего уровня себестоимости разнородной продукции и рассчитывается по следующей формуле:

.

Числитель индекса отражает затраты на производство продукции отчетного периода, а знаменатель – величину затрат на производство продукции отчетного периода при уровне себестоимости базисного уровня.

Разность между числителем и знаменателем общего индекса себестоимости покажет сумму экономии (перерасхода) средств от снижения (увеличения) себестоимости продукции.

Э (П)^z = å( z₁ - z₀) × q₁ .

При построении индексов качественных показателей следует руководствоваться следующим правилом: весами служат те или иные количественные показатели, зафиксированные, как правило, на уровне отчетного периода.

Взвешивание уровня себестоимости продукции по количеству продукции отчетного периода позволяет увязать индексы количественных и качественных показателей в систему. Произведение индексов физического объема продукции и себестоимости в результате даст индекс издержек производства, который характеризует изменение общего уровня затрат на производство продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным:

I_zq = I_z × I_q ,

.

Пример 4. Производство продукции характеризуется следующими данными:

Вид продукции	Себестоимость 1 шт., в руб. (z)		Произведено, шт. (q)
	сентябрь	октябрь	сентябрь	октябрь
1	300	290	2400	1660
2	320	296	3200	3560

Рассчитаем индивидуальные и общие индексы себестоимости продукции:

, или 97%,

, или 93%,

, или 93,7%.

В отчетном периоде себестоимость продукции первого вида снизилась на 3%, а второго вида – на 7%. В целом себестоимость продукции снизилась в отчетном периоде по сравнению с базисным на 6,3%.

Вычислим абсолютную величину экономии затрат от изменения себестоимости по каждому виду продукции и всей продукции в целом.

= (z₁ - z₀) × q₁ = (290 - 300) × 1660 = - 16600 руб.

= (296 - 320) × 3560 = - 85440 руб.

Э(П)_z = å ( z₁ - z₀) × q₁ = 1535160 - 1637200 = -102040 руб.

Экономия затрат от снижения себестоимости составила 102040 руб., в том числе по продукции первого вида – 16600 руб., а второго – 85440 руб.

Проанализируем изменение затрат на производство под воздействием двух факторов: изменение себестоимости продукции и объемов производства.

, или 88%,

, или 93,8%.

Взаимосвязь исчисленных показателей определяется уравнением:

I_zq = I_z × I_q ,

0,88 = 0,937 × 0,938.

Абсолютное изменение затрат на производство, в том числе за счет отдельных факторов, рассчитывается следующим образом:

Dzq = åz₁q₁ - åz₀q₀ = 1535160 - 1744000 = - 208840 руб.,

Dzq^z = åz₁q₁ - åz₀q₁ = 1535160 - 1637200 = - 102040 руб.,

Dzq^q = åq₁z₀ - åq₀z₀ = 1637200 - 1744000 = - 106800 руб.

Взаимосвязь абсолютных изменений определяется уравнением:

D zq = D zq^z + D zq^q ,

- 208840 = -102040 - 106800.

В отчетном периоде по сравнению с базисным затраты на производство продукции сократились на 12%, что составило 208840 руб., в том числе в результате снижения себестоимости продукции на 6,3% или на 102040 руб., а также уменьшения объемов производства на 6,2% или на 106800 руб.

Динамику среднего уровня качественного показателя для однородной совокупности статистика изучает с помощью системы индексов переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.

Относительная величина, характеризующая динамику среднего показателя в однородной совокупности, называется индексом переменного состава. Он отражает влияние на изучаемый показатель двух факторов: изменение индексируемой величины у отдельных единиц совокупности и изменение структуры совокупности по изучаемому признаку. В связи с тем, что средние величины рассчитываются, как правило, по формуле средней арифметической взвешенной, то индекс переменного состава для любых качественных показателей может быть построен следующим образом:

,

где x – индексируемая величина, f – соизмеритель.

Индекс постоянного (фиксированного) состава характеризует динамику средних величин при одинаковой фиксированной структуре совокупности. В общем виде данный индекс можно записать следующим образом:

.

Индекс структурных сдвигов представляет собой отношение средних величин, рассчитанных при структуре совокупности отчетного и базисного периодов при постоянной величине индексируемого показателя. Формула индекса влияния структурных сдвигов выглядит следующим образом:

.

Взаимосвязь индексов переменного, постоянного состава и структурных сдвигов выражается в уравнении:

Пример 5. Имеются данные по группе предприятий об объеме выпущенной продукции и затратах труда на ее производство:

Номер предприятия	Выработано продукции, шт.		Отработано человеко-дней, тыс.
	базисный год	отчетный год	базисный год	отчетный год
1	60000	102000	300	408
2	15000	18000	150	162

Рассчитаем индексы производительности труда переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.

Общее изменение среднего уровня производительности труда по группе предприятий покажет индекс переменного состава:

.

Изменение среднего уровня производительности труда по группе предприятий за счет роста производительности труда на отдельных предприятиях отражает индекс постоянного состава:

.

Изменение среднего уровня производительности труда по группе предприятий за счет изменения в соотношении количества отработанных человеко-дней на отдельных предприятиях выявит индекс влияния структурных сдвигов:

Покажем взаимосвязь исчисленных индексов:

,

1,263 = 1,227 × 1,029.

В отчетном периоде производительность труда по группе предприятий возросла в среднем на 26,3%, в том числе за счет роста производительности труда на отдельных предприятиях – на 22,7% и за счет изменения структуры отработанного времени – на 2,9%.

Важнейшим вопросом при построении индексов с постоянными весами является выбор базы сравнения.

В теории статистики существует несколько подходов к решению этой проблемы и соответственно несколько формул расчета индексов, названных по имени авторов. В настоящее время широко распространены индекс Пааше, Ласпейреса и Фишера.

При расчете по формуле Пааше в качестве веса берется значение соответствующей величины в текущем периоде:

.

С помощью этого индекса определяется изменение цен на товары, реализованные в текущем периоде.

При расчете по формуле Ласпейреса в качестве веса используется значение соответствующей величины в базисном периоде:

.

Индекс характеризует изменение цен на товары, реализованные в базисном периоде.

Выбор той или иной формулы для оценки динамики качественного показателя зависит от принятой в стране методологии расчета и целей исследования.

Теоретически нет ответа на вопрос, какая из формул более точно характеризует изменение индексируемой величины.

Американский экономист И. Фишер предложил использовать среднюю геометрическую из индексов Пааше и Ласпейреса:

.

По форме построения различают сводные индексы агрегатные и средние.

Агрегатный индекс является основной формой сводного индекса. Средние индексы исчисляются как средняя величина из индивидуальных индексов. Средний индекс всегда равен агрегатному индексу.

Средний арифметический индекс представляет собой среднюю арифметическую из индивидуальных индексов:

.

Средний гармонический индекс представляет собой среднюю гармоническую из индивидуальных индексов.

.

При построении средних индексов следует руководствоваться следующим правилом: для индекса количественного показателя используют формулу среднего арифметического индекса, а для индекса качественного показателя – формулу среднего гармонического индекса.

Пример 6. Имеются следующие данные о затратах завода на производство отдельных видов продукции:

Вид продукции	Издержки производства, тыс. руб.		Изменение себестоимости продукции, %	Изменение объема производства продукции, %
	I квартал	II квартал
1	450	525	+2	-1,5
2	870	975	-4	+3,0

Рассчитаем средний арифметический индекс физического объема продукции и средний гармонический индекс себестоимости.

, или 101,5%,

, или 98%.

Во втором квартале объем производства продукции увеличился на 1,5% при среднем снижении себестоимости единицы продукции на 2%.

В зависимости от выбора базы сравнения возможно построение системы цепных и базисных индексов.

Индексы с переменной базой сравнения (цепные) получают путем сопоставления индексируемого показателя каждого последующего периода с показателем предшествующего ему периода.

Индексы с постоянной базой сравнения (базисные) рассчитывают путем сравнения индексируемого показателя каждого периода с соответствующим показателем одного периода, принятого за базу сравнения.

Цепные и базисные агрегатные индексы могут быть исчислены с постоянными и переменными весами.

Пример 7. Имеются следующие данные о реализации товаров в магазине:

Сорт товара	Продано, шт.			Цена за единицу товара, руб.
	январь	февраль	март	январь	февраль	март
	q1	q2	q3	p1	p2	p3
Высший	200	210	250	2,0	1,75	1,5
Первый	300	325	350	0,4	0,35	0,3

Рассчитаем общие цепные индексы цен с переменными весами, характеризующие:

1) изменение цен в феврале по сравнению с январем

,

2) изменение цен в марте по сравнению с февралем

.

Вычислим общие цепные индексы физического объема проданных товаров с постоянными весами. За неизменные (сопоставимые) цены возьмем цены продажи товаров в январе.

1. Изменение объема продаж в феврале по сравнению с январем:

.

2. Изменение объема продаж в марте по сравнению с февралем:

.

Для индивидуальных индексов цен, физического объема и стоимости справедливо следующее правило:

- произведение промежуточных по периодам цепных индексов дает базисный индекс последнего периода;

- отношение базисного индекса отчетного периода к базисному индексу предшествующего периода дает цепной индекс отчетного периода.

Это правило позволяет применять цепной метод, то есть находить неизвестный ряд базисных индексов по известным цепным и наоборот.

Для агрегатных индексов это правило действует только в отношении индексов, рассчитанных на основе постоянных весов. В связи с тем, что агрегатные индексы качественных показателей всегда являются индексами с переменными весами, то цепной метод расчета индексов к ним не применим.

Пример 8. Количество проданных товаров в мае по сравнению с апрелем возросло на 5%, а в июне по сравнению с маем – на 3%. Как изменился объем продаж во втором квартале?

i_6/4 = i_5/4 × i_6/5 = 1,05 × 1,03 = 1,082, или 108,2%.

За второй квартал объем продаж возрос на 8,2%.