6. Термодинамические процессы идеального газа

Под термодинамическим процессом понимается любое изменение состояния термодинамической системы. На практике чаще всего имеют дело с процессами, в которых меняются все термодинамические параметры, а теплоемкость остается постоянной. Такие процессы называются политропными. Уравнение политропного процесса в координатах p–v имеет вид

, (6.1)

где – показатель политропы;

– теплоемкость политропного процесса.

Зная показатель политропы, можно определить теплоемкость политропного процесса как

, (6.2)

где – показатель адиабаты (см. разд. 3).

Среди политропных процессов большое значение имеют такие, в которых один из параметров состояния остается неизменным. Такими процессами являются: изохорный ( ), изобарный ( ), изотермический ( ), а также адиабатный – процесс без теплообмена с окружающей средой ( или, для обратимых процессов, ). Основные формулы для расчетов работы, полезной внешней работы, теплоты процессов, а также изменения термодинамических функций состояния – внутренней энергии, энтальпии и энтропии – для идеального газа приведены в табл. 6.1.

Графическое изображение процессов в координатах p–v и T–s показано на рис. 6.1–6.4.

Рис. 6.1 Изохорный процесс идеального газа

Рис. 6.2. Изобарный процесс идеального газа

Рис. 6.3. Изотермический процесс идеального газа

Рис. 6.4. Адиабатный процесс идеального газа

На рис. 6.5 изображены рассмотренные выше четыре частных случая политропного процесса, проходящих через какое-либо одно состояние, с учетом их конкретного показателя n (см. табл. 6.1, 6.2). Пользуясь этим рисунком, можно по величине показателя политропы определить ее относительное расположение и выяснить характер процесса.

Рис. 6.5. Обобщающее значение политропного процесса

Задачи

6.1. 1 кг воздуха сжимается по политропе с показателем от давления 1 бар до давления 5 бар. Начальная температура воздуха 227 ^оС.

Найти параметры воздуха (p,v,T) в начале и в конце процесса, удельные теплоту, работу изменения объема и внешнюю полезную работу, удельное изменение термодинамических функций состояния – внутренней энергии, энтальпии, энтропии. Изобразить процесс в диаграммах p–v и T–s. Теплоемкости воздуха считать постоянными.

Решение

Начальный удельный объем воздуха находим из уравнения состояния, записанного для 1 кг газа (1.5) :

здесь газовая постоянная воздуха находится как

Таблица 6.1

Термодинамические процессы идеального газа

Величина	Процессы
	Политропный		Адиабатный (изоэнтропный)
Уравнение процесса
Показатель политропы
Связь начальных и конечных параметров	; ;		; ;
Теплоемкость с			0
Удельная работа l
Удельная внешняя работа l
Удельная теплота q			0
Изменение удельной внутренней энергии u
Изменение удельной энтальпии h
Изменение удельной энтропии s		0

Таблица 6.2

Термодинамические процессы идеального газа

Величина	Процессы
	Изохорный	Изобарный	Изотермический
Уравнение процесса
Показатель политропы
Связь начальных и конечных параметров
Теплоемкость с			
Удельная работа l	0
Удельная внешняя работа l		0
Удельная теплота q
Изменение удельной внутренней энергии u			0
Изменение удельной энтальпии h			0
Изменение удельной энтропии s

Удельный объем воздуха в конце процесса находится из уравнения политропного процесса в p–v координатах:

;

Температура воздуха в конце процесса находится из уравнения политропного процесса в p–T координатах:

или из уравнения состояния идеального газа (1.5):

Теплоемкости находятся по молекулярно-кинетической теории с использованием табл. 3.1 (воздух – двухатомный газ):

Формулы для расчета удельных количеств теплоты, работы изменения объема и внешней полезной работы, удельного изменения термодинамических функций состояния – внутренней энергии, энтальпии, энтропии берем из табл. 6.1. Показатель адиабаты для двухатомного газа :

Рассчитанный политропный процесс изобразим в диаграммах p–v и T–s (рис. 6.6)

Рис. 6.6. К задаче 5.1

6.2. В закрытом сосуде объемом 0,6 м³ содержится воздух при давлении 5 бар и температуре 20 ^оС. В результате охлаждения сосуда от воздуха отводится 100 кДж теплоты. Принимая теплоемкость постоянной, определить конечное давление и температуру воздуха.

Ответ:

6.3. 1 кг воздуха сжимается адиабатически так, что его объем уменьшается в 6 раз, а затем в изохорном процессе давление воздуха увеличивается в 1,5 раза. Найти суммарное изменение энтропии газа.

Ответ: .

6.4. Воздух с абсолютным давлением 1,2 ат и температурой 60 ^оС сжимается политропно до абсолютного давления 6 ат. Показатель политропы n = 1,3. Начальный объем воздуха 0,4 м³. Определить конечные объем и температуру воздуха, полные работу и теплоту процесса, а также полное изменение термодинамических функций состояния – внутренней энергии, энтальпии, энтропии.

Ответ:

6.5. К 1 кг идеального двухатомного газа подведена теплота, численно равная половине полученной работы. Найти показатель политропы процесса. Изобразить процесс в диаграммах p–v и T–s.

Решение

Показатель политропы процесса может быть найден из математического выражения первого закона термодинамики, записанного в интегральной форме для 1 кг газа в котором

, (табл. 6.1), (по условию).

Тогда получаем

Учтя, что теплоемкость политропного процесса определяется через его показатель политропы выражением а также то, что процесс не является изотермическим, так как , то после сокращения на приходим к равенству откуда находим

В термодинамических диаграммах процесс с показателем политропы изобразится следующим образом (рис.6.7):

Рис. 6.7. К задаче 6.5

6.6. В цилиндре ДВС находится воздух при температуре 550 ^оС. Вследствие сгорания впрыскиваемого топлива выделяется столько тепла, что объем воздуха возрастает в 2 раза. Давление остается постоянным. Определить температуру воздуха в конце процесса, а также удельные теплоту процесса, работу изменения объема и изменение внутренней энергии. Теплоемкости зависят от температуры.

Ответ:

6.7. Трехатомный газ, занимающий при давлении 2 бар и температуре 40 ^оС объем 2 м³, сжат до объема 0,5 м³, давление при этом стало равным 11 бар. Определить показатель политропы процесса сжатия, а также конечную температуру газа, теплоту и работу процесса.

Решение

Показатель политропы находится из уравнения политропного процесса, связывающего отношение объемов и давлений , откуда

.

Удельная работа политропного процесса находится как (см. табл. 6.1)

,

тогда полная работа, затраченная на сжатие газа массой M, будет равна

Температуру в конечном состоянии находим из уравнения политропного процесса в p–T координатах:

или из уравнения состояния идеального газа, записанного в форме (1.6):

;

Теплоту политропного процесса можно найти из соотношения между работой и теплотой, которое получим, подставив в отношение формулы для их расчета, взятые из таблицы, и учтя, что :

.

Отсюда (при k =1,33 для трехатомного газа):

6.8. 1 кг метана CH₄ при p₁ = 5 бар, t₁ = 127 ^oС изобарически расширяется до двойного объема, а затем изотермически сжимается до давления p₃ = 50 бар. Определить суммарные теплоту, работу, изменение внутренней энергии и энтропии процесса.

Изобразить процессы в диаграммах p–v и T–s.

Ответ:

Изображение процессов в диаграммах p–v и T–s дано на рис. 6.8.

Рис. 6.8. К задаче 6.8

Пояснение: для корректного изображения рассчитанных выше процессов необходимо выяснить относительное расположение точек 1 и 3. Имеем по условию задачи

а из условия изотермичности процесса 2–3:

Тогда

Отсюда следует или , т. е. .

Таким образом, точка 3 должна находиться левее точки 1 на диаграмме p–v. Из вычисленных значений изменения энтропии в процессах 1–2 и 2–3 следует, что в диаграмме T–s точка 3 должна быть расположена правее точки 1.

6.9. В дизельном двигателе воздух всасывается в цилиндр при давлении p₁ = 0,95 бар, t₁ = 13 ^оС. Рабочий объем цилиндров V_h= V₁–V₂ = 23 л, степень сжатия ε = = 16. После политропного сжатия температура воздуха достигает значения t₂ = 460 ^оС. Вычислить массу сжимаемого воздуха, показатель политропы сжатия, удельную теплоемкость процесса сжатия, количества теплоты и работы в процессе сжатия в цилиндре двигателя.

Представить процесс сжатия в диаграммах p–v и T–s.

Решение

В соответствии с определением степени сжатия находим объемы воздуха в начале и в конце процесса сжатия:

Масса сжимаемого воздуха

Показатель политропы процесса сжатия может быть найден из соотношения:

Удельная теплоемкость процесса

Теплота и работа процесса сжатия:

Изобразим процессы в p–v и T–s координатах (рис. 6.9)

Рис.6.9. К задаче 6.9

6.10. Воздух совершает политропный процесс с показателем n = –1,2. Параметры начала процесса p₁ = 2 бар, t₁ = 27 ^оС, конечное давление воздуха p₂ = 4 бар. Найти удельные объемы в начале и конце процесса, конечную температуру, удельные работу, теплоту процесса и изменение внутренней энергии.

Изобразить процесс в диаграммах p–v и T–s.

Ответ:

Изображение процессов в диаграммах p–v и T–s дано на рис. 6.10.

Рис. 6.10. К задаче 6.10

6.11. 1 кг кислорода О₂ сжимается по политропе с показателем n. В результате сжатия газа его абсолютная температура увеличивается в 3 раза. Определить показатель политропы процесса, работу, изменение внутренней энергии и конечное давление, если начальные параметры p₁ = 2 бар, t₁ = 27 ^оС и к газу подводится теплота q = 130 кДж/кг.

Изобразить процесс в диаграммах p–v и T–s.

Ответ:

Изображение процессов в диаграммах p–v и T–s дано на рис. 6.11.

Рис. 6.11. К задаче 6.11

6.12. В политропном процессе расширения двуокиси углерода работа совершается за счет подводимого тепла (25 %) и за счет уменьшения внутренней энергии (75 %). Определить показатель политропы и теплоемкость процесса. Изобразить процесс в диаграммах p–v и T–s.

Решение

В соответствии с условием задачи имеем

откуда получаем

Используя выражения для идеального газа

а также учтя, что показатель адиабаты для двуокиси углерода (как для трехатомного газа) k = 1,33, получаем

Удельная теплоёмкость политропного процесса равна

Изобразим процессы в p–v и T–s координатах (рис. 6.12)

Рис. 6.12. К задаче 6.12

6.13. В процессе сжатия воздуха подведено 50 кДж/кг тепла. В ходе процесса температура воздуха увеличилась на 100 ^оС. Определить показатель политропы процесса, удельную работу и изменение внутренней энергии в процессе. Изобразить процесс в диаграммах p–v и T–s.

Ответ:

Изображение процессов в диаграммах p–v и T–s дано на рис. 6.13.

Рис. 6.13. К задаче 6.13.

6.14. В теплоизолированном цилиндре под поршнем находится гремучая смесь объёмом V₁ = 100 см³ при давлении p₁ = 1 бар и температуре t₁ = 27 ^оС. С какой высоты надо сбросить на поршень груз весом G_гр= 5 кгс, чтобы смесь взорвалась? Температура воспламенения смеси равна t₂ = 500 ^оС.

Решение

Известно, что гремучая смесь представляет собой смесь молекулярного водорода с молекулярным кислородом в стехиометрическом соотношении, т. е. реакция горения смеси описывается химической формулой

Поскольку до воспламенения оба газа в смеси являются двухатомными, то показатель адиабаты смеси равен k = 1,4.

Предполагая, что при ударе груза о поршень смесь сжимается адиабатически, запишем выражение для работы сжатия смеси

Это количество работы совершается за счет уменьшения потенциальной энергии груза, падающего в поле тяжести с высоты h, на величину

Приравнивая работу сжатия смеси уменьшению потенциальной энергии груза, получаем

6.15. Нагревается или охлаждается идеальный газ, если он расширяется по закону ? Здесь a = const, p – давление, v – объем. Изобразить процесс в диаграммах p–v и T–s.

Решение

Выражение легко приводится к стандартному соотношению для политропного процесса в переменных p–v , откуда следует значение показателя политропы процесса n = 2. Далее, используя уравнение состояния идеального газа pv=RT, находим зависимость температуры в процессе от текущего значения объема

откуда получаем

т. е. температура газа в процессе расширения по указанному закону уменьшается.

Изобразим процессы в p–v и T–s координатах (рис. 6.14)

Рис. 6.14. К задаче 6.15

6.16. Перестроить группу процессов идеального газа из одной термодинамической диаграммы в другую. Указать знаки теплоты q, работы изменения объема l и изменения внутренней энергии Δu для каждого из процессов.

a) из p–v в T–s б) из T–s в p–v

Ответ:

Процесс	l	q	Δu		Процесс	l	q	Δu
1–2	<0	<0	<0		1–2	>0	>0	<0
2–3	>0	>0	>0		2–3	<0	<0	=0
3–1	<0	<0	>0		3–1	<0	>0	>0