Внутригодовые процентные начисления.

На практике капитализация процентов часто происходит несколько раз в году: по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно и даже ежедневно. При начислении сложных процентов несколько раз в году пользуются формулой (2.1), понимая под n число периодов начисления, а под i – процентную ставку за период. Однако в финансовых соглашениях, как правило, указывается не ставка за период, а годовая процентная ставка и одновременно определяется число периодов начисления. С этих позиций преобразуем формулу (2.1).

Пусть заданы количество m начислений в году и годовая процентная ставка, которую обозначим i^(m). В этом случае длительность периода наращения равна года. Годовая процентная ставка i^(m) называется номинальной, если соответствующая процентная ставка i_1/m за период находится из равенства i_1/m = . В этих обозначениях формула (2.1) для нахождения наращенного капитала за n лет при m-кратном начислении процентов в год примет вид:

. (2.2)

С целью упрощения записи в дальнейшем индекс m у номинальной процентной ставки в дальнейшем будем опускать и писать просто i, однако помня при этом о количестве начислений процентов за базовый период.

Задача. В банк вложены деньги в сумме 5 000 руб. на 2 года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых. В этом случае начисление процентов производится 4 раза по ставке 20%: 2 = 10%, а схема возрастания капитала имеет вид:

Период	Сумма, с которой идёт начисление	Коэффициент наращения	Сумма к концу периода
6 мес.	5,0	1,10	5,5
12 мес.	5,5	1,10	6,05
18 мес.	6,05	1,10	6,655
24 мес.	6,655	1,10	7,3205

(тыс.руб.).

Задача. В условиях предыдущей задачи рассчитать, как изменится величина капитала к концу двухлетнего периода, если проценты начисляются ежеквартально.

В этом случае начисление производится 8 раз по ставке 20% : 4 = 5%.

Р = 5, i = 0,2, n = 2, m = 4.

(тыс.руб.).

Таким образом, можно сделать несколько простых практических выводов:

• при начислении сложных процентов 12% годовых не эквивалентны 1% в месяц;

• чем чаще идёт начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма.

Эффективная годовая процентная ставка.

Различными видами финансовых контрактов могут предусматриваться различные схемы начисления процентов. Как правило, в этих контрактах оговаривается номинальная процентная ставка, обычно годовая. Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки и, во-вторых, не может быть использована для сопоставлений. Для того чтобы обеспечить сравнительный анализ эффективности таких контрактов, необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным для любой схемы начисления. Таким показателем является эффективная годовая процентная ставка f, обеспечивающая переход от P к F при заданных значениях этих показателей и начислении процентов раз в год.

Общая постановка задачи может быть сформулирована следующим образом: задана исходная сумма P, годовая процентная ставка (номинальная) i, число начислений сложных процентов m. Этому набору исходных величин в рамках одного года соответствует вполне определённое значение наращенной суммы F. Требуется найти такую годовую ставку f, которая обеспечивала бы точно такое же наращение, как и исходная схема, но при однократном начислении процентов, т.е. m = 1.

В рамках одного года: .

Из определения эффективной годовой процентной ставки: откуда

. (2.6)

Из формулы (2.6) следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений, причём с ростом m она увеличивается. Для каждой номинальной ставки можно найти соответствующую ей эффективную; эти две ставки совпадают лишь при m = 1. Именно ставка f является критерием эффективности финансовой сделки и может быть использована для пространственно-временных сопоставлений.

Задача. Предприниматель может получить ссуду а) либо на условиях ежемесячного начисления процентов из расчёта 26% годовых, б) либо на условиях полугодового начисления процентов из расчёта 27% годовых. Какой вариант более предпочтителен?

Рассчитаем эффективную процентную ставку:

а) (29,33%);

б) (28,82%).

Вариант б) предпочтительнее для предпринимателя.

Замечание. Принятие решения не зависит от величины кредита, поскольку критерием является относительный показатель – эффективная ставка, а она зависит лишь от номинальной процентной ставки и количества начислений.

Задача. Рассчитать эффективную годовую процентную ставку при различной частоте начисления процентов, если номинальная процентная ставка равна 10%.

m	1	2	4	12	365
f	0,10	0,1025	0,10381	0,10471	0,10516

В финансовых соглашениях не имеет значения, какую из ставок указывать – эффективную или номинальную, т.к. обе они дают одну и ту же наращенную сумму.

Если в контракте указана эффективная ставка f и число начислений сложных процентов m, то номинальная ставка определяется по формуле:

. (2.7)

Задача. Определить номинальную ставку, если эффективная ставка равна 18% и сложные проценты начисляются ежемесячно.

f = 0,18, m = 12.

.