Дисконтирование по простым процентам.

Разность называется дисконтом.

Задача. Из какого капитала можно получить 3,4 млн руб. через 3 года наращением по простым процентам при ставке 12%?

F = 3,4, n = 3, i = 0,12.

(млн руб.)

(млн руб.)

Задача. Через полгода после заключения финансового соглашения о получении кредита должник обязан заплатить 2,14 тыс. руб.. Какова первоначальная величина кредита, если он выдан под 14% годовых и начисляются обыкновенные проценты с приближённым числом дней?

F = 2,14; n =180/360; i = 0,14.

(тыс. руб.).

(тыс. руб.).

Банковское дисконтирование, или банковский учёт, применяется при операции по учёту векселей банком или другим финансовым учреждением.

Задача. Векселедержатель предъявил для учёта вексель на сумму 50 000 руб. со сроком погашения 28 сентября. Вексель предъявлен 13 сентября того же года. Банк согласился учесть вексель по учётной ставке 30% годовых. Определить сумму, которую векселедержатель получит от банка.

F = 50 000, n = 15/360, d = 0,3.

(руб.).

Комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу: (руб.).

Наращение по учётной ставке.

Задача. За вексель, учтённый за полтора года до срока по дисконтной ставке в 8% годовых заплачено 2 200 руб.. Определить номинальную величину векселя.

Р = 2 200, n = 1,5, d = 0,08.

(руб.).

Определение срока ссуды и величины ставки.

В этих формулах можно положить .

Задача. На какой срок клиент банка может взять кредит в размере 40 тыс. руб. под простые проценты с условием, чтобы величина возвращаемой суммы не превышала 42 тыс. руб., если процентная ставка равна 12% годовых и в расчёт принимаются точные проценты с точным числом дней (год невисокосный)?

Р = 40, F = 42, i = 0,12.

(дня).

Процентные ставки определяют, например, при оценке финансовой эффективности сделки или при сравнении различных сделок по их доходности в тех случаях, когда ставки не даны в явном виде. Решая (1.5) и (1.10) относительно i и d, получим:

и . (1.15)

Задача. В финансовом договоре клиента с банком предусмотрено погашение долга в размере 53 тыс. руб. через 90 дней при взятом кредите в 50 тыс. руб.. Определить доходность такой сделки для банка в виде годовых процентной и учётной ставок. При начислении банк использует обыкновенные проценты.

Р = 50, F = 53, n = 90/360.

, i = 24%;

, d = 22,6%.

Таким образом, инвестируя 50 тыс. руб. под простую процентную ставку 24% годовых, через 90 дней при использовании обыкновенных процентов можно получить 53 тыс. руб.:

(тыс. руб.).

Задача. Вкладчик хочет положить на депозит 8 тыс. руб. и за 10 месяцев накопить не менее 9 тыс. руб.. Определить требуемую простую процентную ставку, на основании которой вкладчик должен выбрать банк для размещения своих средств, если в расчёте принимаются обыкновенные проценты и приближённое число дней.

Р = 8, F = 9, n = 300/360.

, i = 15%. Процентная ставка должна быть не менее 15% годовых.

Сложные проценты. Наращение сложными процентами.

Для пояснения принципиальной разницы между простыми и сложными процентами и сложными процентами рассмотрим такую ситуацию. Клиент положил в банк на несколько лет сумму Р под простые проценты по ставке i, причём счёт можно закрыть в любое время и происходит ежегодное начисление процентов. Если клиент через 2 года закроет счёт, то получит на руки .

Но он может поступить и таким образом: через год закрыть счёт, получив сумму , а затем реинвестировать эту сумму ещё на год. Тогда в конце второго года он получит

= .

Величина больше на величину , которая представляет собой проценты, начисленные на проценты , полученные за первый год. Ещё значительнее будет разница между суммой, полученной через 3 года при закрытии счёта, и суммой, полученной в результате переоформления счёта каждый год.

Ясно, что клиенту выгодно ежегодное переоформление счёта. Поэтому с целью поощрения долгосрочных вкладов в коммерческой практике применяются сложные проценты.

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход начисляется не с исходной величины инвестированного капитала Р (как для простых процентов), а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные, но не востребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов, т.е. присоединение начисленных процентов к их базе. Размер капитала будет равен:

к концу 1-ого года – F₁ = Р + Рi = Р(1 + i),

к концу 2-ого года – F₂ = F₁ + F₁ i = F₁(1 + i) = Р(1 + i)²,

……….

к концу n-ого года – F = Р(1 + i)ⁿ. (2.1)

Равенство (2.1) называется формулой наращения сложными процентами, множитель (1 + i)ⁿ – множителем наращения (мультиплицирующим множителем).

Очевидно, последовательность F₁, F₂, … ,Fn представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем 1 + i.

Задача. Депозит в 200 тыс. руб. положен в банк на 4 года под 15% годовых. Найти наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные проценты.

Р = 200, n = 4, i = 0,15.

F = Р(1 + i)ⁿ = 200(1 + 0,15)⁴ = 349 801,24 (руб.).

Необходимо только, чтобы размерность длины периода и процентной ставки соответствовали друг другу.

Финансовый контракт может быть заключён на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты начисляются следующими способами:

* по схеме сложных процентов F = Р(1 + i)^w+f,

* по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов для дробной части года) F = Р(1 + i)^w (1 + fi),

где w – целая часть n, а f – дробная часть n.

Задача. Предприниматель получил в банке ссуду в размере 100 тыс. руб. сроком на 30 месяцев под 30% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

Р = 100, n = 2,5, i = 0,3.

Если используется схема сложных процентов, то F = 100(1 + 0,3)^2,5 = 192,690 (тыс.руб.).

Если используется смешанная схема, то F = 100(1 + 0,3)²(1 + 0,5·0,3) = 194,350 (тыс.руб.).

Таким образом, в условиях задачи смешанная схема более выгодна для банка.

• Как соотносятся величины наращенных сумм при начислениях по схеме простых и по схеме сложных процентов?

• более выгодной для кредитора является схема сложных процентов, если срок ссуды более одного года;

• обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода 1 год.

• схема простых процентов более выгодна для кредитора, если срок ссуды меньше года.

F^с

F^п

1 год

Задача. Рассчитать наращенную сумму с исходной суммы в 1 млн руб. при размещении её в банке на условиях начисления схемы простых и сложных процентов, если годовая ставка равна 20%, а периоды наращения: 30 дней, 90 дней, 180 дней, 1 год, 5 лет, 10 лет. Число дней в году равно 360.

Схема начисления	30 дней (n = 1/12)	90 дней (n = 1/4)	180 дней (n = 1/2)	1 год (n = 1)	5 лет (n = 5)	10 лет (n = 10)
Простые проценты	1,0167	1,05	1,10	1,20	2,0	3,0
Сложные проценты	1,0153	1,0466	1,0954	1,20	2,4883	6,1917