3. Вероятность события.
В повседневной жизни в разговоре часто используется слово "вероятный". Например, " завтра, вероятно, пойдет дождь", "вероятнее всего команда выиграет матч" и т.д.. при употреблении этого слова интуитивно оценивают возможность того или иного события. При такой оценке помогает здравый смысл и жизненный опыт. Но встречаются события, сравнить или оценить возможность наступления которых, основываясь на чисто интуитивных соображениях, трудно. Например, события - герб появился три раза при пятикратном бросании монеты, или появилась цифра . У монеты две стороны, появление герба и цифры- равновозможные события. Поэтому заранее с большей уверенностью сказать какое же событие вероятнее трудно. Поэтому необходима некоторая оценка события. Такой оценкой является вероятность.
Определение: Вероятность события- это численная мера объективной возможности его появления.
Таким образом каждому событию в соответствие ставится число- его вероятность . пусть имеется полня группа событий попарно несовместных и равновозможных. Вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов (элементарных событий), благоприятствующих наступлению события А к общему числу исходов испытания. Если N общее число исходов испытания, а М число благоприятствующих исходов, то вероятность события А равна
.
Эта формула называется классической формулой вероятности.
Рассмотрим примеры.
Пример1. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8?
Подсчитаем сначала общее количество исходов: каждый из двух кубиков может упасть любой из шести граней. Бросание кубиков осуществляем последовательно, тогда по правилу умножения всего возможных исходов 36. Перечислим благоприятствующие нашему событию исходы. Составим таблицу
Число очков на 1-ом кубике |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Число очков на 2-ом кубике |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
Сумма очков |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
Всего благоприятствующих исходов пять. По классической формуле получаем, что вероятность события равна Р=5/36 ~ 0,14.
Пример 2. В урне 7 белых и 5 черных шаров. Наудачу вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что :а) все шары белые; б) два черных и один белый.
Общее количество исходов это количество сочетаний из 7+5=12 по 3:
Количество благоприятствующих исходов для события -все шары белые- это число сочетаний из 7 по 3:
Тогда вероятность этого события равна Р=35/220 ~ 0,16.
Количество благоприятствующих исходов для события- два черных и один белый: первое действие- выбор черных шаров, можно выполнить С72 способами, второе действие- выбор одного черного шара можно выполнить 5 способами. По правилу умножения количество благоприятствующих исходов равно
Тогда вероятность этого события рвана Р=105/220 ~ 0,48.
Рассмотрим свойства вероятности:
1. Вероятность достоверного события равна 1. Действительно, если событие достоверное, то любой исход является благоприятствующим , тогда N=M, а значит Р=1.
2. Вероятность невозможного события равна 0 . Действительно, любой исход не будет благоприятствующим, т.е. М=0, тогда Р=0/N=0.
3. Вероятность события А удовлетворяет неравенству
Действительно, наименьшее количество благоприятствующих исходов равно 0, а наибольшее N, а значит количество благоприятствующих исходов удовлетворяет неравенству
Поделив неравенство на N получим:
Достоинством классического определения вероятности является возможность вычислить вероятность события непосредственно, т.е. не прибегая к опытам, их заменяют логическими рассуждениями.