ЛЕКЦИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
1. Событие. Виды событий.
2. Операции над событиями.
3. Вероятность события.
1. Событие. Виды событий.
Для изучения законов теории вероятностей введем основные понятия. Одним из них является понятие события.
Определение:
Событие -явление, которое происходит в
результате осуществления какого-либо
комплекса условий.
Осуществление комплекса- испытание или опыт.
Сами испытания проводятся человеком или природой. Условия могут меняться помимо воли испытателя, поэтому исходом испытания может быть не ожидаемое событие, а какое-либо другое заранее неизвестное, которое называется случайным.
Определение: Случайное событие- это событие, которое может произойти или не произойти в результате одного испытания.
Обозначение событий- заглавные буквы латинского алфавита: A, B, C, D и т.д..
Примеры: Испытание- бросание монеты. Случайные события- выпадение герба или цифры.
Испытание- выстрел по мишени. Случайные события- выбивание количества очков от 0 до 10.
Рассмотрим пример: из урны, содержащей 5 красных шаров, вынимают два шара. Событие - оба шара- красные произойдет обязательно, а событие- один из них белый- произойти не может. Первое из этих событий называется достоверным, а второе -невозможным.
Определения:
Достоверное событие- это событие, которое обязательно произойдет в результате испытания.
Невозможное событие- это событие, , которое не может произойти в результате испытания.
В результате испытания может появиться то или иное событие. Причем возможны различные ситуации. Рассмотрим примеры. При бросании монеты возможны события- выпадение герба и выпадение цифры. Но одновременно эти события произойти не могут. При бросании игральной кости(кубика) может выпасть любая из шести ее граней, т.е. произойти любое из событий- выпадение от 1 до 6 точек (очков). Но никакие две и более граней одновременно появиться не могут. Такие события называют несовместными.
Определение: События А и В называются несовместными, если наступление одного из них исключает появление другого.
Теперь рассмотрим другую ситуацию. Проводим испытание- бросание кубика. Рассмотрим события: А- появление четного количества очков, В- появление количества очков, кратных трем. Эти два события могут произойти одновременно при выпадении 6 очков. Такие события называются совместными.
Определение: События А и В называются совместными, если в результате данного испытания появление одного не исключает появление другого.
По отношению к двум событиям, ожидаемым при проведении одного испытания, может возникнуть такая ситуация, когда не появление одного из них обязательно повлечет за собой появление другого. Такие события называются противоположными. Обозначение: для события А противоположным является А (не А).
Определение: События А и А называются противоположными или взаимно дополнительными, если не появление одного влечет появление другого.
Пример: испытание- контрольная работа. События- студент справился с работой и- не справился. В результате испытания обязательно произойдет либо первое, либо второе.
Рассмотрим список событий, которые могут произойти в результате одного испытания. Испытание- выстрел по мишени. События:
Аi- выбито i очков, где i=0-10;
В- выбито менее 10 очков;
С- выбито четное количество очков.
События Аi, где i=0-9, влекут за собой событие В; События А0, А2, А4, А6, влекут за собой событие С.
Говорят, что события Аi, где i=0-9, благоприятствуют событию В; А0, А2, А4, А6- благоприятствуют событию С.
Определение:
Событие А называется благоприятствующим
событию В, если появление события А
влечет за собой появление события В.
Рассмотрим примеры перечисления всех возможных благоприятствующих событий для какого- либо данного события.
Испытание- бросание двух одинаковых кубиков. Событие- выпадение очков, сумма которых равна 6.
Всевозможные благоприятствующие события:
-
кубики
События(очки)
А1
А2
А3
1
1
2
3
2
5
4
3
Для данного события возможны три благоприятствующих А1, А2 и А3.
С понятием благоприятствующее событие связано понятие - полная группа событий. Введем его на конкретном примере.
Рассмотрим группы событий испытания - выстрел по мишени:
1. Аi, i=0-10, выбивание i очков;
2. Четное В и нечетное С количество очков;
3. Выбивание очков меньше 5- событие D, выбивание очков больше 4 - событие Е.
В каждой группе какое -либо событие в результате испытания обязательно произойдет, причем появление одного из них исключает появление всех остальных. Такие события называются полной группой событий.
Определение: Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой.
Каждое событие из полной группы называется элементарным событием. Каждое элементарное событие - равновозможное, т.к. нет оснований считать, что какое-либо из них более возможное, чем любое другое событие полной группы.
Два противоположных события составляют полную группу.
Составим полную группу событий для испытания- подбрасывание трех монет одновременно (без учета порядка следования).
Выпадение герба обозначим Г, цифры- Ц. Каждое элементарное событие запишем в виде сочетания этих обозначений: ГГГ, ГЦЦ, ГГЦ, ЦЦЦ. Полная группа состоит из 4-х элементарных событий. В результате испытания обязательно выпадет какая-либо из этих комбинаций.
