2.6. Типовые динамические звенья
Все многообразие устройств, используемых при построении САУ, независимо от принципов их работы может быть сведено к сравнительно небольшому числу так называемых типовых динамических звеньев. При-надлежность к типу звена определяется дифференциальным уравнением движения звена, связывающим входную и выходную величины уст-ройства.
Сложные технические системы удобно представлять в виде комбинации типовых звеньев.
Стандартная форма записи линейных дифференциальных
уравнений
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициен-тами не выше второго порядка обычно записывают в стандартной форме.
Правило записи. Члены, содержащие выходную величину и её произ-водные, записывают в левой части, а все остальные – в правой. Коэффици-ент при выходной величине делают равным единице. Если в правой части содержатся производные, то члены, содержащие входную величину и её производные, объединяют в одну группу и коэффициент при соответст-вующей выходной величине выносят за скобки:
.
Коэффициенты
при производных имеют размерность
времени, и их сте-пень совпадает с
порядком производной. Эти коэффициенты
называются постоянными времени T,
т.е.
,
,
.
Коэффициенты
и
являются передаточными коэф-фициентами.
В результате преобразований получаем запись
.
30
Это стандартная форма записи линейных дифференциальных уравнений через постоянные времени и передаточные коэффициенты.
Введем классификацию звеньев на основе вида и порядка оператора.
Первый признак оператора (порядок старшей производной − нулевой, первый и второй). Второй признак – вид собственного оператора. По этому принципу различают следующие типовые звенья:
– пропорциональное;
– инерционное;
– колебательное;
– интегрирующее;
– дифференцирующее;
– запаздывающее.
Частотные характеристики
Если
на входе линейной разомкнутой системы
или звена подать гармоническое возмущение
х(t)
(рис. 23), то по истечении некоторого
вре-мени после подачи такого возмущения,
когда затухнут все движения, оп-ределяемые
переходным процессом, на выходе звена
или системы уста-новится также
гармоническое изменение выходной
величины y
с той же частотой ω, которую имеет входная
величина, но с иными амплитудой x
и смещением фазы на величину φ. Амплитуда
и фаза на выходе при прочих р
авных
условиях будут зависеть от частоты
возмущающего воздействия. По этим
характеристикам можно судить о
динамических свойствах не только
звеньев, но и сложных замкнутых САУ.
Рис. 23. Линейная САУ под воздействием гармонического возмущения
Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции: реакция сис-темы на несколько одновременно действующих входных воздействий рав-
31
на сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Это позволяет ог-раничиться изучением систем только с одним входом.
Рассмотрим
несколько понятий, связанных с частотными
характерис-тиками. Периодическое
гармоническое возмущение в векторной
форме может быть записано так:
,
где
.
Последнее выражение представляет собой
единичный вектор, у которого cos
ωt
– вещественная
часть;
sin
ωt
–
мнимая часть; X
– амплитуда; ωt
–
фа-зовое состояние процесса.
По истечении переходного процесса на выходе разомкнутой системы установятся вынужденные периодические колебания, определяемые выра-жением
.
По определению комплексный коэффициент усиления K(jω) получают из передаточной функции W(p) при подстановке в неё вместо p→jω
K(jω)=y(t)/x(t)=Yej(ωt+φ)/Xejωt=K(ω)ejφ.
Здесь K(ω)=Y/X зависит от частоты так же, как от частоты зависит и величина φ.
Так
как x(t)
и y(t)
– векторы, то их можно изобразить на
комплексной плоскости. Вектор будет
изображен в виде отрезка, длина которого
равна амплитуде (рис. 24):
,
tg
φ=Im/Re,
где
Re
– действительная часть; Im
– мнимая часть. Таким образом, комплексный
коэффициент уси-ления есть векторная
величина, модуль которой
,
а фа-за
отсчитывается от действительной оси.
При непрерывном изменении частоты происходит изменение модуля и фазы вектора. Конец вектора описывает на комплексной плоскости некото-рую кривую, называемую годографом. Годограф - геометрическое место точек конца вектора комплексного коэффициента усиления на комплекс-ной плоскости при изменении частоты от 0 до ∞. Значение частот отклады-вается непосредственно на годографе, который, таким образом, является амплитудно-фазочастотной характеристикой. Для определения модуля и фазы комплексного коэффициента усиления на заданной частоте следует соответствующую точку годографа соединить прямой с началом коорди-нат. Длина полученного отрезка соответствует в определенном масштабе
32
модулю, а фаза определяется углом, образованным этой прямой и положи-тельной полуосью действительных величин (рис. 25).
Рис. 24. Характеристики комплексного коэффициента усиления |
Рис. 25. Примеры годографов разомкнутых САУ |
При
расчетах систем пользуются логарифмической
амплитудно-частот-ной (ЛАЧХ) и
логарифмической фазочастотной (ЛФЧХ)
характеристика-ми. По горизонтальной
оси откладывают частоту в логарифмическом
мас-штабе, что позволяет изобразить на
заданном отрезке значительный диапа-зон
частот. Это наиболее удобная форма
представления частотных харак-теристик
для решения задач анализа и синтеза
систем. Рассмотрим амп-литудно-фазовую
характеристику
.
Прологарифмируем ее: lnK(jω)
= lnK(ω)+jφ(ω).
На практике используют десятичные
логариф-мы lgK(jω)
= lgK(ω)+j
,
так как lnN
= lgN/lge
= lgN/0,4329=2,3
lg
N.
Рассмотрим координатную систему для такого представления (рис. 26). По оси абсцисс откладываем величину lg ω. Вводим две единицы измере-ния: декаду, октаву. Декада – длина отрезка по оси абсцисс, соответствую-щая десятикратному изменению частоты. Число декад nд = lg ωв/ωн , где ωв – крайняя высокая частота рассматриваемого диапазона; ωн – крайняя нижняя частота.
Рис. 26. Координатная система для построения
ЛАЧХ и ЛФЧХ
Например частотный диапазон от ωн=1 с-1 до ωв=10000 с-1 содержит че-тыре декады, так как lg 104 = 4. Первая декада – от 1 до 10 с-1; вторая – от
33
10 до 100 с-1; третья – от 100 до 1000 с-1 и т.д. Октава – длина отрезка по оси абсцисс, соответствующая двухкратному изменению частоты. В одной декаде содержится 3,32 октавы. Декадный интервал применяют чаще.
Фазу обычно откладывают по оси ординат в угловых градусах или в ра-дианах. Ординатой амплитудно-частотной характеристики является не величина lgK(ω), а пропорциональная ей величина L(ω), в децибелах, L(ω) = 20lgK(ω) (шкала равномерная). Точка пересечения с осью абсцисс соответствует K(ω) = 1.
Использование логарифмического масштаба при построении ЛАЧХ обусловлено не столько значительными изменениями модуля комплексно-го коэффициента усиления, сколько возможностью осуществления графи-ческих методов расчета. При расчетах САУ часто приходится иметь дело с произведением коэффициентов усиления, а так как логарифм произведе-ния равен сумме логарифмов, то при графических расчетах для получения произведения нескольких значений весьма удобно осуществить сложение их логарифмов. Удобство логарифмического масштаба по оси ординат в том, что на одном графике можно представить значения, отличающиеся на несколько порядков.
Временные характеристики
Они – важные характеристики САУ. Это переходные и импульсные переходные функции и их графики. В реальных условиях входные сигналы могут иметь произвольный характер. Для исследования динамических свойств элементов и систем следует выбрать такие типовые возмущения, которые по возможности близко отражали бы наиболее существенные осо-бенности реальных возмущений.
В теории САУ для определения динамических свойств звеньев (систе-мы) в качестве входного сигнала применяют следующие типовые функции (рис. 27): единичный скачок (ступенчатая функция (рис. 27, а), например подключение напряжения к звену или системе, начало обработки на стан-ке, возмущения в виде ударов в механических системах и др.); единичный импульс (рис. 27, б) (как правило, шумы, помехи); гармонический сигнал (рис. 27, в); степенные функции времени (линейные, квадратичные и др.) (рис. 27, г).
Переходная функция системы (звена) – функция, описывающая измене-ние выходной величины системы (звена), когда на ее вход подается еди-ничное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. Пере-ходную функцию обычно обозначают как h(t). Иначе, переходная функция
34
h(t) – функция, описывающая реакцию системы (звена) на единичное сту-пенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. График переход-ной функции называют переходной характеристикой.
Рис. 27. Типовые функции входного сигнала
Импульсная переходная функция системы (звена) – функция, описываю-щая реакцию системы (звена) на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях. График импульсной переходной функции называют импульсной переходной характеристикой.
Физически единичный импульс можно представить как очень узкий им-пульс единичной площади.
Переходную функцию принято вписывать в прямоугольник, изобража-ющий звено.