22. Абсолютные и относительные харак-к измерения вариации. Основные матем. Св-ва дисперсии.

Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и относительные. К абсолютным отн-ся размах вариации, cpeднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Вторая группа показателей вычисляется как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической (или медиане). Относительными показателями вариации являются коэф-ты осцилляции, вариации, относительное линейное отклонение и др.

Простейшим показателем вариации признака является вариационный размах.

Вариационный размах (амплитуда колебаний) признака рассчитывается как разность между макс-ной и миним-ной вариантами опред. колич-ного признака в статист. совокупности.

Вариационный размах рассчитывают:

где R_х – размах вариации признака;

– соответственно конечная (максимальная) и начальная (минимальная) варианты.

Основной недостаток вариационного размаха заключается в том, что он не отражает внутренних изменений признака и полностью зависит от отдельных случаев, оказывающихся на обоих полюсах ранжированного ряда.

Для приближенной обобщающей харак-ки вариации признака может быть рассчитано среднее линейное отклонение, которое выражается в простой и взвешенной формах.

Поскольку матем. сумма линейных отклонений (Σ ), согласно первому свойству средней арифметической величины, всегда =0, то для расчета среднего линейного отклонения берут сумму линейных отклонений по модулю.

Простое среднее линейное отклонение, рассчитываемое для ранжированного ряда, находят следующим образом:

где – среднее линейное отклонение; – линейное отклонение индивидуальных вариант от их среднего ; n – число вариант в статистической совокупности.

Взвешенное среднее линейное отклонение, которое может быть найдено для дискретного или интервального ряда распределения, рассчитывают по следующей формуле:

Среднее линейное отклонение, как один из простейших показателей, находит ограниченное применение; главным образом может быть использовано лишь для приближенной характеристики внутренних колебаний вариационного признака в статистической совокупности, так как оно рассчитывается с нарушением математических правил. Поэтому для более точной и объективной оценки внутренних изменений основными показателями вариации являются следующие: среднее квадратической отклонение и коэффициент вариации.

Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, является общепринятой мерой вариации. В зависимости от исходных данных дисперсия вычисляется по формулам простой:

и взвешенной средней арифметической

Существуют более простые подходы в вычислении дисперсии.

Наиболее часто используется сокращенный способ расчета дисперсии (метод моментов), в соответствии с которым дисперсия есть разница между средним из квадратов значений признака и квадратом их средней ( ):

Этот способ позволяет вести расчет дисперсии по исходным данным без предварительного расчета отклонений.

Дисперсия как базовый показатель вариации обладает рядом вычислительных свойств, позволяющих упростить её расчет. К ним относятся:

1. дисперсия постоянной величины равна 0;

1. дисперсия не меняется, если все варианты увеличить или уменьшить на одно и то же число А;

2. если все варианты умножить (разделить) на число А, то дисперсия увеличится (уменьшится) в квадрат постоянного числа A².

Размерность дисперсии соответствует квадрату размерности исследуемого признака, поэтому данный показатель не имеет экономической интерпретации. Для сохранения экономического смысла рассчитывается ещё один показатель вариации – среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратическое отклонение рассчитывается на базе средней квадратической величины. Оно выступает в невзвешенной (простой) и взвешенной формах.

Для ранжированного ряда рассчитывают невзвешенное (простое) среднее квадратическое отклонение по следующей формуле:

простая – ;

Взвешенное среднее квадратическое отклонение рассчитывают для дискретного или интервального ряда:

взвешенная – .

Среднее квадратическое отклонение измеряется в тех же единицах, что и варианты изучаемого признака в статистической совокупности. Оно харак-ет среднюю колеблемость вариант в этой совокупности и широко используется в качестве одного из наиболее точных и объективных показателей вариации не только в статистике, но и в технике, биологии, других отраслях знаний.

Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях используют показатели вариации, приведенные в относительных величинах. Базой для сравнения должна служить средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха вариации, среднего линейного отклонения или среднего квадратического отклонения к средней арифметической или медиане. Чаще всего они выражаются в процентах и определяют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). Различают следующие относительные показатели вариации:

Коэффициент осцилляции ( ):

Коэффициент вариации представляет собой относительный показатель, который можно рассчитать по следующей формуле:

где V_х – коэффициент вариации признака х в статистической совокупности;

– среднее квадратическое отклонение признака х;

– среднее значение признака в статистической совокупности.

Базой для расчёта коэффициента вариации может быть не только средняя величина, но и заменяющие её величины (например, мода и медиана).

Обычно коэффициент вариации выражают в процентах и используют как объективную меру колеблемости вариант в статистической совокупности. В этом случае коэффициент вариации может характеризовать количественную однородность или разнородность изучаемых признаков в составе статистической совокупности. Если же коэффициент вариации выше 10,0%, то статистическая совокупность по заданному признаку считается неоднородной.

Коэффициент вариации может быть использован при сравнении колеблемости нескольких признаков как в одной и той же статистической совокупности, так и в различных совокупностях. Н-р, с пом. коэффициента вариации можно сравнить колеблемость урожайности различных с.х. культур, продуктивности животных в различных категориях хозяйств и др.