19. Средняя арифметическая величина и ее основные св-ва
Если в формулу
подставить значение к=1, то получается средняя арифметическая величина, т.е.
.
Поскольку в ранжированном ряду при всех вариантах f=1, то в этом случае применяется средняя арифметическая невзвешенная (простая) величина, т.е.
,
где n – число единиц в статистической совокупности.
Поскольку в дискретном ряду распределения каждая варианта представлена определенной локальной частотой (частостью), то среднее значение для каждого такого ряда можно рассчитать по формуле средней арифметической взвешенной, т.е.
, (1)
где х – варианты (значение признака); f – локальные частоты (частости).
Принцип расчёта средней величины в интервальном вариационном ряду аналогичен расчёту среднего значения признака для дискретного ряда (формула 1); различия состоят лишь в некоторых деталях.
При вычислении среднего значения признака в интервальном ряду распределения, когда в столбце вариант имеется не одно, а два значения, показывающие нижнюю и верхнюю границы интервала, прежде всего целесообразно найти его срединное значение, т.е. центр интервала, который определяется как простая средняя арифметическая из нижней и верхней варианты каждого интервала, или как их полусумма.
В системе АПК средняя арифметическая величина (простая и взвешенная) широко применяется при расчёте многочисленных средних показателей, характеризующих наличие и использование производственного потенциала: средней площади землепользования, посевной площади, урожайности, численности работников, себестоимости продукции, уровня рентабельности и многих других показателей.
Основные свойства средней арифметической величины
Средняя арифметическая величина обладает многими математическими свойствами, имеющими важное значение при ее расчёте. Знание этих свойств помогает контролировать правильность и точность расчёта средней варианты, способствует упрощению процесса расчёта среднего значения признака.
Первое
свойство.
Алгебраическая
сумма
отклонений
индивидуальных
вариант
от
среднего
значения
равна
нулю.
Так,
если
индивидуальные
отклонения
обозначить
через
;
…..;
Сумма
всех
индивидуальных
отклонений,
например,
в
ранжированном
ряду
будет:
Поскольку
Первое
свойство
теоретически
доказывается
и
по
отношению
к
средней
арифметической
взвешенной.
В
этом
случае
сумма
взвешенных
положительных
отклонений
от
среднего
значения
признака
равняется
сумме
взвешенных
отрицательных
отклонений,
а
общая
сумма
всех
отклонений
равна
нулю,
т.е.
.
Первое свойство используется обычно для проверки правильности расчёта средней арифметической величины. В результате округления средней сумма отклонений не всегда равна нулю, но чем она ближе к нулю, тем средняя варианта рассчитана точнее.
Второе свойство. Величина средней не изменится, если частоты (частости) или веса при каждой варианте признака увеличить или уменьшить в одинаковое число раз.
Действительно,
если
то,
например
умножив
все
частоты
на
постоянную
величину
α,
получим
ту
же
величину
средней:
.
Из второго свойства средней арифметической величины вытекают следующие важнейшие следствия:
если частоты при всех вариантах равны между собой, то средняя арифметическая взвешенная равна простой средней, т.е. при равнозначности частот в вариационном ряду можно вычислить вместо взвешенной величины простую.
при расчёте средней арифметической величины в качестве частот можно использовать частости, т.е. их удельные веса (доли) в общем итоге. Замену абсолютных частот частостями можно рассматривать как умножение их на некоторый коэффициент.
Третье свойство. Если все индивидуальные варианты вариационного ряда увеличить или уменьшить на постоянное число, то средняя величина увеличится или уменьшится на это же число. Обычно в качестве постоянного числа выбирается варианта, расположенная в середине вариационного ряда, что позволяет значительно упростить нахождение средней. Расчёт средней арифметической величины с применением этого свойства принято называть методом моментов. Метод моментов можно записать в следующем виде:
Четвёртое
свойство.
Произведение
средней
величины
на
накопленную
сумму
частот
равняется
сумме
произведения
каждой
варианты
на
ее
частоту,
т.е.
Это свойство вытекает из формулы средней арифметической взвешенной величины, т.е. если
