Построить картину нулей и полюсов передаточной функции , с помощью которой определить:
область сходимости z-преобразования импульсной характеристики;
условия устойчивости цифрового фильтра.
Нуль
функции
значение
аргумента
,
при котором функция обращается в 0, т.е.
Полюс
функции
значение
аргумента
,
при котором функция обращается в
бесконечность, т.е.
Нули и полюса мы нашли в задании 2.2.2.
корни
уравнения
Вычислим эти корни:
Они являются полюсами системы.
корни
уравнения
.
Вычислим эти корни:
О
p1
Область сходимости
ни являются нулями системы.
Im
Re
1
1
z01
p2
Рис. 11. Картина нулей и полюсов передаточной функции
Система является не устойчивой, так как все полюсы расположены внe единичного круга z-плоскости и область сходимости не содержит единичную окружность.
Часть 3.
Нерекурсивный цифровой фильтр имеет импульсную характеристику
На вход системы подается конечная последовательность .
Описать процедуру вычисления Дискретного преобразования Фурье (дпф) с использованием алгоритмов быстрого преобразования Фурье (бпф): алгоритм бпф с прореживанием по частоте.
Быстрым преобразованием Фурье (БПФ) называют набор алгоритмов, реализация которых приводит к существенному уменьшению вычислительной сложности ДПФ.
Исходная идея алгоритма БПФ состоит в том, что N-точечная последовательность разбивается на 2 более короткие, например на 2 (N/2)-точечных последовательности, вычисляются ДПФ для этих более коротких последовательностей и из этих ДПФ конструируется ДПФ исходной последовательности.
Существуют различные алгоритмы БПФ:
алгоритм с прореживанием по времени;
алгоритм с прореживанием по частоте.
В данной курсовой работе рассматривается алгоритм с прореживанием по частоте.
Описание алгоритма с прореживанием по частоте:
В этом варианте алгоритма БПФ входная последовательность x(n) разбивается на две последовательности, содержащие по N/2 отсчетов каждая следующим образом:
первая последовательность x1(n) состоит из первых N/2 отсчетов x(n),
вторая x2(n) — из остальных N/2 отсчетов x(n) , т. е.
При таком разбиении N-точечное ДПФ последовательности x(n) можно записать в виде:
Запишем выражения отдельно для четных и нечетных отсчетов ДПФ:
Из представленных выше выражений видно, что четные и нечетные отсчеты ДПФ можно получить из N/2-точечных ДПФ последовательностей f(n) и g(n) , равных
Таким образом, снова вычисление N-точечного ДПФ удалось свести к вычислению двух N/2-точечных ДПФ. На рисунке 13 эта методика иллюстрируется для случая N = 8.
Рис 12. Переход от восьмиточечного ДПФ к двум четырехточечным ДПФ при прореживании по частоте.
Описанную методику можно применить повторно и представить каждое из N/2-точечных ДПФ в виде комбинации двух N/4-точечных ДПФ.
На рис. 13 и 14 показан переход от четырехточечных ДПФ (фиг. 6.9) к двухточечным ДПФ с последующим прямым вычислением двухточечных ДПФ.
Рис 13. Переход от четырехточечных ДПФ на фиг. 6.9 к двухточечным ДПФ.
Рис 14. Полный направленный граф восьмиточечного ДПФ с замещением и прореживанием по частоте.
Базовая операция алгоритма с прореживанием по частоте (операция «бабочка») состоит в том, что два входных числа А и В объединяются для получения двух выходных чисел X и Y следующим образом:
X = A+B Y = (A-B)W^k
Рис 15. Базовая операция алгоритма БПФ с прореживанием по частоте.
Внимательное рассмотрение направленного графа на рис.14 показывает,что каждый из этапов содержит N/2 базовых операций.
Для вычисления обратного ДПФ можно использовать БПФ алгоритм, если разделить результат на N и использовать вместо степеней WN степень WN^-1