2.2.2. Порядок выполнения работы

Для выполнения курсовой работы студент получает у руководителя вариант исходных данных и разрабатывает первоначальную матрицу любого возможного плана хозяйственных связей между предприятиями отрасли и потребителями продукции (табл. 2.2). При разработке первоначального варианта транспортировки товара может быть использовано правило Северо-Западного угла, или правило наименьшего элемента в таблице, или правило наименьшего элемента в строке, столбце.

Предлагаемый вариант должен удовлетворять следующим условиям.

1. Должны выполняться ограничения (2.22) – (2.25):

х₁₁≥0, х₂₃≥0, х₂₂≥0, х₃₃≥0, х₃₄≥0. (2.22)

х₁₁ + х₁₃ = а₁,

х₂₂ + х₂₃ = а₂,

х₃₃ + х₃₄ = а₃. (2.23)

х₁₁ = b₁,

х₂₂ = b₂,

х₁₃ + х₂₃ + х₃₃ = b₃,

х₃₄ = b₄. (2.24)

а₁ + а₂ + а₃ = b₁ + b₂ + b₃ + b₄. (2.25)

2. Количество занятых перевозками клеточек в матрице должно быть равным m + n - 1, в приведенном примере 3+4-1=6.

Таблица 2.2

Первоначальный вариант транспортировки продукции

Предприятия и их мощности		Потребители и их спрос
		B1	В2	B3	В4
		b1	b2	b3	b4
А1	a1	c11 x11	c12	c13 x13	c14
A2	а2	c21	c22 x22	c23 x23	c24
A3	a3	c31	c32	c33 x33	c34 x34

Затем студентом рассматривается возможность уменьшения затрат на транспортировку путем изменения маршрута перемещения продукции. Для этого анализируется возможность записи новой поставки продукции в пустые клетки матрицы – A1B2, A1B4, A2B1, A2B4 A3B1, A3B2. С этой целью к свободным клеткам строится так называемая цепь, отвечающая следующим условиям:

1) цепь представляет собой замкнутый многоугольник;

2) в цепь включается четное количество клеток матрицы, причем одна из них пустая, а все остальные – с поставками;

3) у каждой клетки цепи есть одна парная клетка и в строке, и в столбце. Например, цепи, построенные к клеткам A1B2, A2B1, A3B2, показаны на рис. 2.7.

Затем рассчитываются характеристики полученных цепей как алгебраическая сумма с_ij в клетках цепи, причем с_ij свободной клетки принимается со знаком «+», а знак c_ij в остальных клетках чередуется. Так, характеристики построенных цепей _ij рассчитываются по выражениям:

₁₂ = + с₁₂ – с₁₃ + с₂₃ – с₂₂;

₂₁ = + с₂₁ – с₁₁ + с₁₃ – с₂₃; (2.26)

₃₂ = + с₃₂ – с₂₂ + с₂₃ – с₃₃.

Построение цепей и расчет их характеристик продолжается до тех пор, пока не будет обнаружена клетка, цепь к которой имеет отрицательную характеристику _ij<0. Это свидетельствует о том, что для уменьшения суммарных затрат целесообразно записать новую поставку в эту клетку и изменить весь план транспортировки продукции. Новый вариант плана перевозок получается следующим образом: в свободную клетку записывается поставка продукции, равная минимальной поставке в клетках с отрицательным значением c_ij.

	C12			C13			C11			C13
А1В2			X13			X11			X13
	C23			C23			C21			C23
X22			X23			A2B1			X23
				C22			C23
			X22			X23
				C32			C33
			A3B2			X33

Рис. 2.7. Цепи перераспределения поставок к клеткам матрицы

A₁B₂, A₂B₁, А₃В₂

Так, если получено ₁₂< 0 и x₁₃<x₂₂ , то в новом варианте матрицы в клетке A1B2 записывается x^’₁₂=x₁₃, а в остальных клетках цепи изменяются поставки. Для этого к предыдущим значениям перевозок в этих клетках добавляется также величина х₁₃ с тем же знаком ( + или – ), что и критерии оптимальности с_ij для этой клетки. В клетках рассматриваемой цепи новые поставки соответственно получатся следующим образом:

x^’₁₃ = x₁₃ - x₁₃ = 0, т.е. в новом варианте плана перевозок клетка A1B2 станет свободной;

x^’₂₃ = x₂₃ + x₁₃; x^’₂₂ = x₂₂ - x_13.

Все остальные клетки матрицы, не относящиеся к данной цепи перераспределения, остаются без изменения, такими же, как и в первоначальном варианте.

Полученный после такого преобразования вариант плана вновь считается исходным. Он исследуется и преобразуется аналогичным образом, причем на каждом шаге преобразования плана перевозок продукции перераспределение поставок производится только по одной цепи с отрицательной характеристикой.

Преобразование плана осуществляется до тех пор, пока не будет получен вариант перевозок, для которого все цепи, построенные к свободным клеткам, будут иметь положительные характеристики δ_ij. Это и является признаком оптимальности плана транспортировки продукции.

Для найденного оптимального варианта хозяйственных связей между предприятиями-производителями и потребителями продукции рассчитываются суммарные затраты на транспортировку по формуле (2.20). Исходные данные для выполнения работы приведены в табл. 2.3 – 2.6.