2.5. Оптимизация перевозок на основе обобщенной транспортной задачи

При рассмотрении (в разделе 2.2) транспортной задачи и ее решения предполагалось, что мощности поставщиков (a_i ), потребности потребителей (b_j) и перевозки (x_ij ) постоянны, т.е. a_i = Const; b_j = Const; x_ij = Const. Но условие задачи может быть таким, что a_i , b_j и неизвестные х_ij сами зависят от того или иного параметра, например, являются функцией времени: x_ij = f(t), a_i = f(t), b_j = f(t).

Пример условия такой задачи приведен в табл. 2.20.

Таблица 2.20

Условие обобщенной транспортной задачи

Поставщики и их мощности		Потребители и их спросы
		B1	B2
		4t	t2 – 2t
A1	t2	c11 = 3, x11(t)	c12 = 5, x12(t)
A2	2t	c21 = 2, x21(t)	c22 = 3, x22(t)

Так как здесь a_i и b_j являются функциями времени, то в разные моменты времени будут разными и перевозки. Поэтому при решении задачи в клетках матрицы должны быть записаны перевозки, также выраженные как функции времени.

Теперь условие такой транспортной задачи может быть представлено следующим образом:

x_ij = a_i; (2.59)

x_ij = b_j; (2.60)

a_i = b_j; (2.61)

a_i ≥ 0, b_j ≥ 0, x_ij ≥ 0; (2.62)

a_i =a(t); b_j = b(t); x_ij = x(t); (2.63)

F = x_ij c_ij = min. (2.64)

Предлагаемый ниже метод решения задачи универсален, он подходит и для линейных, и для нелинейных функций.

Сначала параметру t присваивается любое численное значение, но таким образом, чтобы выполнялось условие (2.62), т.е. мощности поставщиков и потребности потребителей были выражены положительными числами.

Пусть t = 3. Теперь рассматриваем и решаем получившуюся численную транспортную задачу. Оптимальный план этой задачи приведен в табл. 2.21.

Таблица 2.21

Решение численной транспортной задачи

Поставщики и их мощности		Потребители их спросы
		В1	В2
		12	3
А1	9	с11=3, х11=9	с12=5
А2	6	с21=2, х21=3	с22 =3, х22= 3

Исходя из условий (2.59) и (2.60) и табл. 2.20 получим:

х₁₁ + х₁₂ = t²; (2.65)

х₂₁ + х₂₂ = 2t; (2.66)

х₁₁ + х₂₁ = 4t; (2.67)

х₁₂ + х₂₂ = t² – 2t. (2.68)

Так как в числовом решении задачи x₁₂(t) = 0, все остальные значения неизвестных находим из (2.65) – (2.68):

х₁₁(t) =t²; х₂₁(t) =4t – t²; х₂₂(t) = t² – 2t.

Получим некоторый план перевозок в табл. 2.22.

Таблица 2.22

Первый план перевозок

Поставщики и их мощности		Потребители и их спросы
		В1	В2
		4t	t2 – 2t
А1	t2	x11 = t2
А2	2t	х21 = 4t – t2	x22 = t2 – 2t

Представленный в табл. 2.22 план перевозок справедлив, если x_ij≥0. Теперь надо исследовать все полученные значения перевозок и определить область допустимых значений параметра t, для которых справедливо полученное решение. Такое исследование можно провести как аналитически, так и графически. Графический анализ представлен на рис. 2.10.

Так как значение х₁₁=t₂ положительно при любых t, на графике 2.10 эта функция не показана.

4t – t²

t² – 2t

Рис. 2.10. Определение области допустимых значений t

Из этого анализа видно, что все перевозки положительны при 2 ≤ t ≤ 4, т.е. и решение в табл. 2.22 справедливо для 2 ≤ t ≤4.

Затем параметру t присваивается другое численное значение, выходящее за пределы этой области (от 2 до 4), например t = 5. Получаем новую численную задачу и решаем ее (табл. 2.23).

Таблица 2.23

Решение второй численной задачи

Поставщики и их мощности		Потребители и их спросы
		В1	В2
		20	15
А1	25	20	5
А2	10		10

Проведя точно такие же исследования, как и для первого решения, получим:

x₁₁(t) = 4t; x₁₂(t) = t² - 4t; x₂₂(t) = 2t.

На рис. 2.11 представлено исследование области допустимых значений параметра t.

4t;

t² – 4t;

2t

Рис. 2.11. Определение области допустимых значений t

В табл. 2.24 представлен план перевозок для всех t ≥ 4.

Таблица 2.24

Второй план перевозок

Поставщики и их мощности		Потребители и их спрос
		В1	В2
		4t	t2 – 2t
А1	t2	x11 = 4t	x12 = t2 – 4t
А2	2t		х22 = 2t

Аналогичные действия следует производить до тех пор, пока не будет исследована вся совокупность допустимых значений параметра t.

Исходные данные для выполнения курсовой работы представлены в табл. 2.25 – 2.28.

Таблица 2.25

Производственные мощности

предприятий – изготовителей продукции

Пред- приятие	Производственная мощность по вариантам
	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
А1	t2 + 10t	3t	4t2
А2	10t – 2t2	5t	6t
А3	2t3 + t	2t2	3t
Итого	2t3 – t2 + 21t	2t2 + 8t	4t2 +9t

Таблица 2.26

Спрос предприятий-потребителей продукции

Пред- приятие	Спрос на продукцию по вариантам
	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
В1	10t – t2	10t	6t – t2
В2	2t3 + 11t	2t2 – 2t	3t + 5t2
Итого	2t3 – t2 + 21t	2t2 + 8t	4t2 +9t

Таблица 2.27

Расстояния транспортировки продукции

Предприятия – производители продукции	Предприятия – потребители продукции
	В1	В2
А1	2	6
А2	4	2
А3	3	2

Таблица 2.28

Интервал исследования параметра t по вариантам

№ варианта	1	2	3
Интервал t	От 0 до 5	От 0 до10	От 0 до 6