2.4. Задача распределения ресурсов

2.4.1. Постановка задачи

Фирма располагает некоторой суммой средств (ресурсов), которые необходимо распределить между хозяйственными подразделениями. Очевидно, от того, как распределены эти средства, зависит и суммарный доход (или прибыль), который может быть получен фирмой. Следует выполнить анализ и принять решение по оптимальному распределению ресурсов, т.е. решить, какую сумму средств выделить каждому конкретному подразделению.

В исходных данных для выполнения курсовой работы приведены функции доходов исследуемых предприятий (табл. 2.18), структура фирм и суммарная величина распределяемых средств (табл. 2.19). Для простоты при решении задачи рекомендуется в качестве дополнительного условия принять, что распределяемые средства измеряются целыми тысячами денежных единиц.

Ниже рассматривается модель решения задачи и пример использования этой модели для оптимального распределения средств.

2.4.2. Описание модели

Для решения поставленной задачи применяется экономико-математическая модель «задача Беллмана».

Формулировка задачи: имеется некоторые ресурс «x», который надо распределить между «n» предприятиями таким образом, чтобы суммарный доход от использования ресурса «x» был максимальным. Каждое предприятие, получив в свое распоряжение определенную сумму средств, может обеспечить некоторую прибыль, размер которой зависит от многих факторов деятельности предприятия – уровня применяемой техники и технологии, методов организации производственных процессов, особенностей выпускаемой продукции и т.д. Предполагается, что зависимость дохода от величины используемых средств (функция дохода) для каждого предприятия известна и задана.

Необходимо решить, сколько средств и каким предприятиям следует выделить.

На рис. 2.9 схематично представлено условие задачи.

1 2 ……….. К-1 К …………. n

Х =х₁ + х₂ +……… + х_к-1 + х_к + ………… + х_n

φ_∑(x)=[φ₁(x₁)+φ₂(x₂) +……+φ_k-1(x_k-1)+ φ _k(x_k) +……+ φ_n(x_n)]

Рис. 2.9. Условие задачи

На рис. 2.9 цифры 1, 2… – соответственно первое, второе и т.д. предприятие; φ₁, φ₂ … – функции доходов этих предприятий; х₁,х₂,…,х_n – сумма средств, выделяемая этим предприятием; φ₁(х₁), φ₂(х₂), …, φ_n(х_n) – величина дохода каждого предприятия.

В квадратных скобках на рис. 2.9 показана суммарная величина дохода от всех «n» предприятий. Фирме необходимо обеспечить максимальную величину суммарного дохода, т.е.

max[φ₁(x₁) + φ₂(x₂) +…+ φ_n(x_n)]. (2.46)

Трудность в решении этой задачи, очевидно, состоит в том, что необходимо найти максимум «n» переменных (х₁,х₂,…,х_n), а задача нахождения экстремума «n» переменных нерешаема.

Модель Беллмана предлагает решение этой задачи.

Условимся в дальнейшем обозначать символом «f» оптимальный доход, а символом «φ» – неоптимальную величину дохода.

Таким образом, в задаче следует определить оптимальный доход «n» предприятий от распределения ресурса «x» по формуле

f_n(x) = max [φ₁(x₁) + φ₂(x₂) +… +φ_n(x_n)]. (2.47)

Для нахождения f_n(x) установим связь между f_k(x) и f_k-1(x), т.е. связь между оптимальным доходом «k» предприятий (1-го, 2-го,…, (k-1)-го и k-того) и оптимальным доходом предыдущих (k-1) предприятия (1-го, 2-го,…, (k-1)-го).

Пусть k-тое предприятие получает сумму «х_к», тогда величина его дохода составит φ_k(x_k) Оставшиеся средства (х-х_к) распределяются между оставшимися (1-м, 2-м,…, (k-1)-м) предприятиями наилучшим образом, т.е. так, чтобы их суммарный доход был максимальным: f_k-1(x – x_k).

Тогда величина дохода «k» предприятий [φ_k(x_k) + f_k-1(x – x_k)] зависит только от того, как выбрано х_к (0≤х_к≤х).

Из всех возможных значений этого дохода при разных «х_к» нас интересует лишь максимальный, т.е. максимум функции одной переменной «х_к»:

f_k(x) = max[φ_k(x_k) + f_k-1(x – x_k)]. (2.48)

Выражение (2.48) называют «уравнение Беллмана», или «рекуррентное соотношение».

Из (2.48) видно, чтобы найти оптимальный доход «k» предприятий f_k(x), надо знать оптимальный доход предыдущих (k-1) предприятий f_k-1(x), а чтобы знать f_k-1(x), надо найти f_k-2(x) и т.д. И, наконец, для расчета оптимального дохода первых двух предприятий f₂(x) надо знать величину оптимального дохода одного первого предприятия f₁(x). А для одного предприятия эта величина известна и задана – φ₁(x).

Т.е. f₁(x) = φ₁(x).

Затем, зная f₁(x), можно рассчитать f₂(x), и т.д. до f_k(x).

Использование этого метода проиллюстрировано ниже на условном примере.